Olimpíadas ⇒ OBM - 2002

[agp16]

No triângulo [tex3]ABC[/tex3], o ângulo mede [tex3]60^o[/tex3] e o ângulo B mede [tex3]50^o[/tex3]. Sejam [tex3]M[/tex3] o ponto médio do lado [tex3]AB[/tex3] e [tex3]P[/tex3] o ponto sobre o lado [tex3]BC[/tex3] tal que [tex3]AC + CP = BP[/tex3]. Qual a medida do ângulo [tex3]MPC[/tex3]?

A) [tex3]120^o[/tex3] B) [tex3]125^o[/tex3] C) [tex3]130^o[/tex3] D) [tex3]135^o[/tex3] E) [tex3]145^o[/tex3]

Resposta

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gabarito: E

[Marcos]

No enunciado faltou uma informação importante que segue em anexo.

No triângulo [tex3]ABC[/tex3], o ângulo A mede [tex3]60^o[/tex3] e o ângulo B mede [tex3]50^o[/tex3]. Sejam [tex3]M[/tex3] o ponto médio do lado [tex3]AB[/tex3] e [tex3]P[/tex3] o ponto sobre o lado [tex3]BC[/tex3] tal que [tex3]AC + CP = BP[/tex3]. Qual a medida do ângulo [tex3]MPC[/tex3]?

A) [tex3]120^o[/tex3] B) [tex3]125^o[/tex3] C) [tex3]130^o[/tex3] D) [tex3]135^o[/tex3] E) [tex3]145^o[/tex3]

Resposta

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gabarito: E

Olá,caro agp16;observe a solução!

Como [tex3]AC+CP=BP[/tex3],[tex3]P[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BQ[/tex3], onde [tex3]Q[/tex3] é o ponto sobre o prolongamento de [tex3]BC[/tex3] tal que [tex3]CQ=AC[/tex3].Logo,[tex3]M[/tex3] e [tex3]P[/tex3] são,respectivamente ,pontos médios dos lados [tex3]BA[/tex3] e [tex3]BQ[/tex3] do [tex3]\bigtriangleup ABQ[/tex3].Assim,[tex3]MP[/tex3] é paralelo a [tex3]AQ[/tex3] e o ângulo [tex3]{M}\widehat P B[/tex3] é igual ao ângulo em [tex3]Q[/tex3] do triângulo isósceles [tex3]ACQ[/tex3], que é igual [tex3]\frac{180^{\circ}-110^{\circ}}{2} = 35^\circ[/tex3].Portanto,[tex3]{M}\widehat P C = 180^{\circ} - {M}\widehat P B[/tex3]= [tex3]145^o[/tex3] .

[tex3]Resposta:(E)[/tex3].