Ensino Superior ⇒ Álgebra moderna grupo normal.

[Jonathas]

Minha duvida é: queria saber sobre subgrupos normal (teoria dos grupos) para provar que para todo n pertencente a N e g pertencente a G (gn g ^ -1) pertence a N. Como se chega a isto(prova) >> (gn g ^ -1) pertence a N.

desde já obrigado galera!
att, Jonathas Dias

[andrecaldas]

Oi, Jonathas!

Não sei se entendi seu problema... o que você está querendo mostrar é que se N for um subgrupo normal de G, então para todo [tex3]g \in G[/tex3], teremos que [tex3]gNg^{-1} \subset N[/tex3]? Bom, para algumas pessoas essa é a definição de "subgrupo normal". A demonstração depende do que é um "subgrupo normal" pra você.

Eu entendi corretamente? O que é que você entende por subgrupo normal? O que está querendo mostrar?

[Jonathas]

sim, esta para mim é a definição de subgrupo norma! porém quero saber como se chega à esta definição, partem de qual principio, qual é todo o procedimento para chegar à esta definição!

[andrecaldas]

A motivação mais simples são as classes laterais...

Seja G um grupo. Então, podemos extender a operação de G em uma operação nas partes de G, ou seja, no conjunto dos subconjuntos de G:
[tex3]2^G = \{ S | S \subset G \}[/tex3].

Para R e S, dois subconjuntos de G, podemos definir a seguinte operação em [tex3]2^G[/tex3]:
[tex3]RS = \{ rs | r \in R,\, s \in S \}[/tex3].

Esta operação é associativa e possui elemento identidade [tex3]\{1_G\}[/tex3], onde [tex3]1_G[/tex3] é a identidade de G; mas NÃO é um grupo, pois nem todas as operações possuem inverso, mesmo excluindo o conjunto vazio, que funciona como o 0: [tex3]\emptyset R = \emptyset[/tex3]. De fato, quando nem R, nem S são vazios, o número de elementos em RS é maior ou igual ao número de elementos de R e de S. E se nos restringirmos então aos subconjuntos com um número fixo de elementos? Também não funcionaria.

Com a operação acima, [tex3]2^G[/tex3] de fato possui subconjuntos onde podemos restringir a operação de produto, e obter um grupo. Por exemplo, se nos restringirmos à família dos subconjuntos com exatamente um elemento, teremos um grupo. Esse grupo será basicamente o mesmo que o grupo G! Na notação de grupo quociente, essa família seria o mesmo que [tex3]G/\{1_G\}[/tex3].

Seja então, H um subgrupo de G. Quando é que a família dos subconjuntos de G da forma [tex3]gH = \{g\}H = \{gh | h \in H\}[/tex3] é um grupo com a operação definida acima? Essa família, denotada por [tex3]G/H[/tex3], independentemente de formar, ou não, um grupo com a operação de produto induzida pela operação de G, é chamada de classes laterais (a esquerda) de G. A pergunta é: quando é que essa família forma um grupo?

Note que o produto de subconjuntos é associativo: [tex3](RS)T = R(ST)[/tex3]. Em particular, [tex3]((xH)(yH))(zH) = (xH)((yH)(zH))[/tex3].

Para ser um grupo, precisamos, além da associatividade, de três coisas:
1. Que para [tex3]x,y \in G[/tex3] tenhamos que [tex3](xH)(yH) \in G/H[/tex3].
2. Um elemento identidade.
3. Que para [tex3]x \in G[/tex3] exista [tex3]w \in G[/tex3] tal que [tex3](xH)(wH) = (wH)(xH)[/tex3] seja igual ao elemento identidade.

Como H é um subgrupo, [tex3]HH = H[/tex3]. Assim, [tex3](gH)(H) = gH[/tex3]. Portanto, o conjunto H é um elemento identidade a esquerda e é portanto nosso único candidato a elemento identidade. Único, pois se um grupo possui um elemento "e" que é identidade a esquerda, então "e" será também identidade a direita: [tex3]xe = x \Rightarrow x^{-1}xe = x^{-1}x \Rightarrow e = 1[/tex3]. Assim, as condições 2 e 3 podem ser substituídas por
2'. [tex3]H = 1_G H[/tex3] é a identidade
3'. Que para [tex3]x \in G[/tex3] exista [tex3]w \in G[/tex3] tal que [tex3](xH)(wH) = (wH)(xH) = H[/tex3].


Um caso em que 1, 2' e 3' são satisfeitos, é quando H é um subgrupo normal: para todo [tex3]g \in G[/tex3], tivermos que [tex3]gH = Hg[/tex3], onde [tex3]Hg = \{hg | h \in H\} = H\{g\}[/tex3]. De fato,
A. [tex3](xH)(yH) = x (Hy) H = x (yH) H = (xy)(HH) = (xy)H[/tex3]. Ou seja, 1 é satisfeito com z = xy.
B. [tex3]H(gH) = (gH)H = g(HH) = gH[/tex3]. Ou seja, H é também um inverso a direita.
C. Para o item 3', basta tomar [tex3]w = x^{-1}[/tex3]: [tex3]xH x^{-1}H = (xx^{-1})H = H[/tex3].


Por outro lado, suponha então que [tex3]G/H[/tex3] é um grupo. Ou seja, 1, 2' e 3' são satisfeitos. Na verdade, só precisamos do item 1...
Pelo item 1, dados [tex3]x,y \in G[/tex3] e [tex3]h_1, h_2 \in H[/tex3], existem [tex3]z \in G[/tex3] e [tex3]h_3 \in H[/tex3], tais que [tex3]xh_1yh_2 = zh_3[/tex3]. Usando apenas o caso em que [tex3]y = x^{-1}[/tex3], temos então [tex3]xh_1x^{-1} = zh_3h_2^{-1}[/tex3].

Ou seja, para todo [tex3]x \in G[/tex3] teremos que, para algum [tex3]z \in G[/tex3], [tex3]xHx^{-1} \subset zH[/tex3]. Agora, basta notar que [tex3]1_G \in xHx^{-1}[/tex3] para concluir que [tex3]1_G \in zH[/tex3]. Este último fato implica que para algum [tex3]h \in H[/tex3], [tex3]zh = 1_g[/tex3] e portanto, [tex3]z \in H[/tex3] (porquê?). Assim, [tex3]zH \subset H[/tex3] (de fato, vale a igualdade).

Portanto, o item 1 implica que para todo [tex3]x \in G[/tex3], [tex3]xHx^{-1} \subset H[/tex3].


Concluímos que para [tex3]G/H[/tex3] ser um grupo, é suficiente que para todo [tex3]g \in G[/tex3], [tex3]gH = Hg[/tex3]. Mas também é necessário que [tex3]gHg^{-1} \subset H[/tex3]. Essas duas condições são equivalentes! (porquê?)

Assim, a normalidade do subgrupo H equivale ao fato de [tex3]G/H[/tex3] ser um grupo com a operação de produto induzida por G. H ser subgrupo normal é equivalente ao item 1; ou para todo g, [tex3]gH = Hg[/tex3]; ou para todo g, [tex3]gHg^{-1} = H[/tex3]; ou para todo g, [tex3]gHg^{-1} \subset H[/tex3].


Se eu tiver um tempo, depois eu posto uma maneira alternativa, com homomorfismos...


Abraço,
André Caldas.

[andrecaldas]

Puxa, relendo eu vi que troquei "direita" com "esquerda" e "inverso" com "identidade"...

Correção:
Quando H é um subgrupo, (gH)H = gH. Portanto, o conjunto H é uma identidade a direita [...]

Correção:
B. H(gH) = gH. Ou seja, H também é uma identidade a esquerda. (portanto, H é uma identidade)