IME / ITA ⇒ (ITA 2004) Polinômios

[poti]

Para algum número real [tex3]r[/tex3], o polinômio [tex3]8x^{3} - 4x^{2} - 42x + 45[/tex3] é divisível por [tex3](x-r)^{2}[/tex3]. Qual dos números abaixo está mais próximo de [tex3]r[/tex3]?

a) 1,62 b) 1,52 c) 1,42 d) 1,32 e) 1,22

Gabarito:

Resposta

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Letra B

Achei duas resoluções, mas não entendi nenhuma:

Primeira: Acha-se [tex3]3/2[/tex3] por pesquisa de raízes racionais, mas como pode se ele é divisor de [tex3]45[/tex3] mas não é de [tex3]8[/tex3] ?? E outra, não dá muito trabalho testar todos divisores possíveis ??

Segunda:
[tex3]8x^{3}-4x^{2}-42x+45[/tex3]
[tex3]8x^{3}+20x^{2}-24x^{2}-60x+18x+45[/tex3]
[tex3]4x^{2}(2x+5)-12x(2x+5)+9(2x+5)[/tex3]
[tex3](2x+5).(4x^{2}-12x+9)[/tex3]
[tex3](2x+5).(2x-3)^{2}[/tex3]

Como essa última expressão prova que [tex3]{-}5/2[/tex3] e [tex3]3/2[/tex3] são raízes ??

[ALDRINMOD]

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[poti]

Retirei.

[poti]

Desculpem pelo flood mas já consegui. Vê-se que [tex3]r[/tex3] é raiz dupla pois [tex3](x-r)[/tex3] está elevado ao quadrado, por isso fatorando a expressão por Briot-Ruffini duas vezes chega-se na expressão de segundo grau: [tex3]24r^{2}-8r-42[/tex3]. Fazendo Bhaskara, vemos que o discriminante vale [tex3]1024[/tex3], que tem raiz quadrada no valor de [tex3]32[/tex3]. Terminando as contas acha-se [tex3]36/24[/tex3] que vale [tex3]1,5[/tex3].

Letra B