IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1985) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere um ponto [tex3]\underline{P}[/tex3] interno a um hexágono regular de lado igual a [tex3]6\text{ cm}[/tex3]. A soma das distâncias de [tex3]\underline{P}[/tex3] a cada uma das retas suportes dos lados desse hexágono

(A) depende da localização de [tex3]\underline{P}[/tex3].
(B) é igual a [tex3]36\text{ cm}[/tex3].
(C) é igual a [tex3]18\text{ cm}[/tex3].
(D) é igual a [tex3]12\sqrt3\text{ cm}[/tex3].
(E) é igual a [tex3]18\sqrt3\text{ cm}[/tex3].

Resposta

---

E

[poti]

Lembrando que o hexágono pode ser separado em 6 triângulos com lados congruentes, parti do princípio que se esse ponto estiver no centro, a soma será a altura de cada um desses triângulos [tex3]6.\frac{6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \approx 31,17[/tex3].

Depois coloquei o ponto no ponto médio da base de um triângulo formado entre dois vértices distintos. Fazendo vários pitágoras cheguei num resultado aproximado de [tex3]28,41[/tex3]. Portanto acredito que seja a alternativa A. Se alguém puder provar mais teoricamente agradeço.

[Natan]

poti,

se na segunda tentativa vc coloca o ponto na base de um triangulo então o ponto estava sobre o hexágono e não dentro dele como descreve a questão.

[Marcos]

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Sendo [tex3]P[/tex3] um ponto interno ao hexágono [tex3]ABCDEF[/tex3],então trace os segmentos que une os vértices ao ponto [tex3]P[/tex3].Logo,teremos seis triângulos,cujo somatório de suas áreas será igual a área do hexágono [tex3]ABCDEF[/tex3].

[tex3]S_ {ABCDEF} = S_ {APB} + S_ {BPC} + S_ {CPD} + S_ {DPE} + S_ {EPF} + S_ {FPA}[/tex3].

[tex3]6[/tex3].[tex3]l^{2}[/tex3].[tex3]\frac{\sqrt {3}}{4} = \frac{ \bar{AB}\cdot a }{2} + \frac{ \bar{BC}\cdot b }{2} + \frac{ \bar{CD}\cdot c }{2} + \frac{ \bar{DE}\cdot d }{2} + \frac{ \bar{EF}\cdot e }{2} + \frac{ \bar{FA}\cdot f }{2}[/tex3].

Sendo o hexágono regular podemos concluir o seguinte:
[tex3]l = \bar{AB} = \bar{BC} = \bar{CD} = \bar{DE} = \bar{EF} = \bar{FA}[/tex3].

Então:
[tex3]6[/tex3].[tex3]l[/tex3].[tex3]\frac{\sqrt {3}}{4} = \frac{ a }{2} + \frac{ b }{2} + \frac{ c }{2} + \frac{ d }{2} + \frac{e }{2} + \frac{ f }{2}[/tex3].
[tex3]6[/tex3].[tex3]l[/tex3].[tex3]\frac{\sqrt {3}}{4} = \frac{ 1 }{2}[/tex3].([tex3]a + b + c + d + e + f[/tex3]).
[tex3]a + b + c + d + e + f = 3[/tex3].[tex3]l[/tex3].[tex3]\sqrt {3}[/tex3].

Sendo [tex3]a + b + c + d + e + f[/tex3] a soma das distâncias de [tex3]P[/tex3] a cada uma das retas suportes dos lados desse hexágono e o lado do hexágono igual a [tex3]6 cm[/tex3].

Teremos que:
[tex3]a + b + c + d + e + f = 3[/tex3].[tex3]6[/tex3].[tex3]\sqrt {3}[/tex3] cm.
[tex3]a + b + c + d + e + f = 18\cdot \sqrt {3}cm. \Rightarrow letra:(E)[/tex3].