IME / ITA ⇒ (IME 2002) Complexos Tópico resolvido

[poti]

Seja [tex3]Z[/tex3] um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição [tex3]z^{2n} \neq -1[/tex3] onde [tex3]n[/tex3] é um número inteiro positivo. Demonstre que [tex3]\frac{z^{n}}{1+z^{2n}}[/tex3] é um número real.

[FilipeCaceres]

Chamando a equação de [tex3]w[/tex3] e fazendo [tex3]z=e^{i\theta}[/tex3]

Teremos:

[tex3]w=\frac{e^{in\theta}}{1+e^{i2n\theta }}[/tex3]
[tex3]w=\frac{1}{\frac{1+e^{i2n\theta }}{e^{in\theta}}}[/tex3]
[tex3]w=\frac{1}{e^{-in\theta} + e^{in\theta}}= \frac{1}{2\cos (n\theta)} \in R[/tex3]

Portanto [tex3]w[/tex3] é um complexo real.

Espero ter ajudado

[snooplammer]

Eu queria saber se minha ideia seria válida

Para que um número complexo seja um número real obrigatoriamente deve-se ter que [tex3]\overline{z}=z[/tex3]

Seja [tex3]z[/tex3] um número real significa que a parte imaginária vale 0. Logo,
[tex3]a-0i=a+0i[/tex3] logo [tex3]a=a[/tex3]

Provado isso

Tem-se que [tex3]|z|=1[/tex3] e sabe-se que [tex3]z\cdot\overline{z}=a^2+b^2[/tex3]
[tex3]\sqrt{z\cdot\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]

Se [tex3]\sqrt{a^2+b^2}=|z|[/tex3] então [tex3]\sqrt{a^2+b^2}=1[/tex3]
[tex3]\sqrt{z\cdot\overline{z}}=1[/tex3]
[tex3]z \cdot \overline{z}=1[/tex3]

Já que deve-se ter [tex3]\overline{z}=z[/tex3]
[tex3]z^2=1[/tex3]
[tex3]z=1[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{z^{n}}{1+z^{2n}}=\frac{1^{n}}{1+1^{2n}}=1[/tex3]

De onde 1 é real

Poderiam dizer se essa seria uma resolução válida pro vestibular?

[Auto Excluído (ID:12031)]

não, pois não é [tex3]z[/tex3] quem é real é aquela expressão final. Você começou assumindo [tex3]z= \overline z[/tex3] o que é mentira

[snooplammer]

Ah... verdade

Valeu, sousóeu