Ensino Superior ⇒ Derivadas: Taxas Relacionadas Tópico resolvido

[miguel747]

Não lembro do enunciado com exatidão, tentei pesquisar na net e não encontrei:

"Determine sas dimensões de um retângulo, de área máxima, inscrito em uma semicircunferência de raio [tex3]R[/tex3] e sua respectiva área."

[adrianotavares]

Olá,miguel747.

Retângulo de área máxima.GIF (2.17 KiB) Exibido 1633 vezes

[tex3]A=2xy (i)[/tex3]

[tex3]x^2+y^2=R^2 \Rightarrow y=\sqrt{R^2-x^2} (ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](ii)[/tex3] em [tex3](i)[/tex3]

[tex3]A=2x\sqrt{R^2-x^2}[/tex3]

Calculando a [tex3]\frac{dA}{dx}[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{dA}{dx}=2\sqrt{R^2-x^2}+\frac{1(-2x)\cdot 2x}{2\sqrt{R^2-x^2}}[/tex3]

Fazendo-se [tex3]\frac{dA}{dx}=0[/tex3] teremos:

[tex3]2x^2=2\sqrt{R^2-x^2} \Rightarrow x^2=R^2-x^2 \Rightarrow 2x^2=R^2 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}R}{2}[/tex3]

[tex3]y^2=R^2-x^2 \Rightarrow y^2=R^2-\frac{R^2}{2} \Rightarrow y=\frac{\sqrt{2}R}{2}[/tex3]

Logo, as dimensões do retângulo serão:

[tex3]2x=\sqrt{2}R[/tex3]

[tex3]y=\frac{\sqrt{2}R}{2}[/tex3]

Note que a área é máxima quando a altura corresponde a metade da base.

[miguel747]

Muito Obrigado adriano,

Fiz esse vinculo utilizando a base como [tex3]\frac{x}{2}[/tex3], deu o mesmo resultado mas porque precisamos igualar a derivada como sendo zero. que significado geométrico seria esse?

Até mais,

Filipe.