Ensino Superior ⇒ Taxas relacionadas

[Natan]

Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a uma taxa constante de 0,6m/s com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 4m do solo?

[adrianotavares]

Olá,Natan.

Taxa de variação.GIF (1.61 KiB) Exibido 20630 vezes

Do enunciado temos que [tex3]\frac{dx}{dt}=0,6m/s[/tex3].Queremos determinar [tex3]\frac{dy}{dt}[/tex3], taxa à qual o topo da escada desliza para baixo no instante que [tex3]y=4[/tex3].

[tex3]x^2+y^2=36[/tex3]

Derivando implicitamente em relação ao tempo teremos:

[tex3]2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \Rightarrow x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\cdot \frac{dx}{dt}[/tex3]

Para [tex3]y=4[/tex3] teremos [tex3]x=2\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\cdot \frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{dy}{dt}=-\frac{2\sqrt{5}}{4}\cdot 0,6 \Rightarrow \frac{dy}{dt}=-0,3\sqrt{5}m/s[/tex3]

A escada está se movendo para baixo à uma taxa de [tex3]\boxed{0,3\sqrt{5} m/s}[/tex3]