Ensino Médio ⇒ Demonstração: Desigualdade das Médias

[bruninha]

Demostre que se [tex3]a,\,\, b\,\, \in\,\, \mathbb{R}_+[/tex3] [tex3]\Rightarrow \,\, \frac{a+b}{2}\,\, \geq\,\, \sqrt{ab}[/tex3]

[Alexandre_SC]

[tex3]\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex3]

como são apenas os reais positivos, podemos manipular a inequação diretamente

elevar os dois lados ao quadrado
[tex3]\frac{a^2+ 2ab+b^2}{4} \geq ab[/tex3]

[tex3]\frac{a^2+b^2}{4}+\frac{ab}{2} \geq ab[/tex3]

[tex3]\frac{a^2+b^2}{4} \geq \frac{ab}{2}[/tex3] dividindo os dois lados por [tex3]\frac{ab}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{a^2+b^2}{2ab} \geq 1[/tex3]
multiplicando os dois lados por 2ab

[tex3]\frac{a}{2b}+\frac{b}{2a} \geq 1[/tex3]

como [tex3]\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2[/tex3] para os reais positivos, clique na aqui ou na equação para ver a demonstração!

essa é verdadeira!

[italoemanuell]

Olá novamente Bruninha e Alexandre_SC.!!

Uma outra demostração mais imediata é utilizando-se o fato que o quatrado de qualquer real sempre é maior ou igual a 0,então é válido que:

[tex3](a-b)^2\geq[/tex3] 0.Logo,[tex3]a^2-2ab+b^2\geq[/tex3] 0 =>[tex3]a^2+b^2\geq[/tex3] 2ab.
Por fim,dividindo-se o resultado acima por 2,obtemos o que queriamos!!

Espero ter ajudado!!

Bjos...........


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"Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido, porque os idiomas morrem mas as idéias matemáticas permanecem. "Imortalidade" pode ser uma idéia tola, mas provavelmente um matemático tem a melhor chance que pode existir de obtê-la. (G.H.Hardy)"