Pré-Vestibular ⇒ (UEL) Polinômio Tópico resolvido

[poti]

Qual é o resto da divisão de [tex3]p(x) = x^{100} - x[/tex3] por [tex3]q(x) = x^{2} + x?[/tex3]

A) [tex3]-2x[/tex3]
B) [tex3]-2[/tex3]
C) [tex3]x[/tex3]
D) [tex3]-x[/tex3]
E) [tex3]0[/tex3]

Resposta

---

A

[FilipeCaceres]

Vamos escrever a função
[tex3]\frac{x^{100}-x}{x^2+x}=\frac{x(x^{99}-1)}{x(x+1)}=\frac{x^{99}-1}{x+1}[/tex3]

Aplicando Briot-Ruffini

[tex3]\begin{array}{c|ccccccc|c}
& 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & -1 \\ \hline
-1 & 1 & -1 & 1 & -1 & ... & -1 & 1 & \boxed{-2} \\
\end{array}[/tex3]

Assim temos que o resto da divisão
[tex3]\frac{x^{100}-x}{x^2+x}=\boxed{-2x}[/tex3]

Espero ter ajudado

[poti]

Ai que reside minha duvida. Por que é [tex3]{-}2x[/tex3] e não [tex3]{-}2[/tex3] ??

[andrecaldas]

Acho que o poti tem razão.

O resto da divisão por [tex3]x+1[/tex3] tem que ter grau menor que o grau de [tex3]x+1[/tex3]. Ou seja, não pode ser [tex3]{-}2x[/tex3].

[andrecaldas]

Ah... usando só o grau dá pra concluir que a resposta é -2 ou 0. Se fosse 0, a raiz de [tex3]X+1[/tex3] seria também raiz de [tex3]x^{99}-1[/tex3]. Mas [tex3](-1)^{99} - 1 = -2 \neq 0[/tex3]. Portanto, a resposta NÃO é 0.

[poti]

Acho que o poti tem razão.

O resto da divisão por [tex3]x+1[/tex3] tem que ter grau menor que o grau de [tex3]x+1[/tex3]. Ou seja, não pode ser [tex3]{-}2x[/tex3].

A divisão não é por [tex3]x+1[/tex3]. Agora que entendi, por ser de grau dois, montando os esquemas para [tex3]x = 0[/tex3] e [tex3]x = -1[/tex3] vc acha um sistema com o resto e define que vale [tex3]{-}2x[/tex3]. Está correta a resposta.

[andrecaldas]

A divisão não é por [tex3]x+1[/tex3].

Tem razão!

Pelo meu argumento (e pelo Briot-Ruffini), a única coisa que concluímos é que o resto da divisão de [tex3]x^{99}-1[/tex3] por [tex3]x+1[/tex3] é [tex3]{-}2[/tex3]. Ou seja,
[tex3]x^{99}-1 = (x+1)q(x) + (-2)[/tex3]. (onde q(x) é um polinômio)

Multiplicando tudo por [tex3]x[/tex3]:
[tex3]x^{100}-x = x(x^{99}-1) = x(x+1)q + x(-2) = (x^2-x) + (-2x)[/tex3].

Portanto, o resto é [tex3]{-}2x[/tex3].

[andrecaldas]

Multiplicando tudo por [tex3]x[/tex3]:
[tex3]x^{100}-x = x(x^{99}-1) = x(x+1)q + x(-2) = (x^2-x) + (-2x)[/tex3].

Portanto, o resto é [tex3]{-}2x[/tex3].

Corrigindo o [tex3]q(x)[/tex3] que "sumiu":
[tex3]x^{100}-x = x(x^{99}-1) = x(x+1)q(x) + x(-2) = (x^2-x)q(x) + (-2x)[/tex3].

[andrecaldas]

Hahahaha!!! Meu argumento inicial é totalmente furado! Desculpe!

Na verdade o meu argumento não prova que o resto da divisão por [tex3]x+1[/tex3] é [tex3]{-}2[/tex3]!! Isso porque o meu argumento usou as "alternativas" pra eliminar as possibilidades. Bom, apesar de eu ter atrapalhado bastante espero que os últimos comentários esclareçam por que é [tex3]{-}2x[/tex3] ao invés de [tex3]{-}2[/tex3].