Ensino Médio ⇒ Alguém consegue fatorar essa coisa aí Tópico resolvido

[Balanar]

Você consegue fatorar isso?

[tex3]{a}^{3}{\left(\frac{{a}^{3}-2{b}^{3}}{{a}^{3}+{b}^{3}} \right)}^{3}+{b}^{3}{\left(\frac{2{a}^{3}-{b}^{3}}{{a}^{3}+{b}^{3}} \right)}^{3}[/tex3]

A resposta é:

Resposta

---

[tex3]{a}^{3}-{b}^{3}[/tex3]

[Balanar]

Temos que fatorar,

[tex3]{a}^{3}{\left(\frac{{a}^{3}-{2b}^{3}}{{a}^{3}+{b}^{3}} \right)}^{3}+{b}^{3}{\left(\frac{2{a}^{3}-{b}^{3}}{{a}^{3}+{b}^{3}} \right)}^{3}[/tex3]

Escrevendo a equação de outra forma vem,
[tex3]\frac{{a}^{3}{\left({a}^{3}-2{b}^{3} \right)}^{3}}{{\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{3}}+\frac{{b}^{3}{\left({2a}^{3}-{b}^{3} \right)}^{3}}{{\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{3}}[/tex3]

Vamos ter que abrir os dois cubos da diferença então vem,
[tex3]{a}^{3}{\left({a}^{3}-{2b}^{3} \right)}^{3}={a}^{12}-6{a}^{9}{b}^{3}+12{a}^{6}{b}^{6}-8{a}^{3}{b}^{9}[/tex3]

e

[tex3]{b}^{3}{\left(2{a}^{3}-{b}^{3} \right)}^{3}=8{a}^{9}{b}^{3}-12{a}^{6}{b}^{6}+6{a}^{3}{b}^{9}-{b}^{12}[/tex3]

Simplificando os termos vemos que,

[tex3]\frac{{a}^{12}-{b}^{12}+2{a}^{9}{b}^{3}-2{a}^{3}{b}^{9}}{{\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{3}}[/tex3]

Que pode ser reescrita como,

[tex3]\frac{\left({a}^{6}-{b}^{6} \right)\left({a}^{6}+{b}^{6} \right)+2{a}^{3}{b}^{3}\left({a}^{6}-{b}^{6} \right)}{{\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{3}}[/tex3]

Trabalhando a expressãot temos,

[tex3]\frac{\left({a}^{6}-{b}^{6} \right)\left( {a}^{6}+{b}^{6}+2{a}^{3}{b}^{3} \right)}{{\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{3}}[/tex3]

Fatorando a expressão vem,
[tex3]\frac{\left( {a}^{6}-{b}^{6} \right){\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{2}}{{\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{3}}[/tex3]

Logo,
[tex3]\frac{\left( {a}^{6}-{b}^{6} \right)}{{\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{}}[/tex3]

E finalmente obtemos,

[tex3]\frac{\left({a}^{3}-{b}^{3} \right)\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}{{\left({a}^{3}+{b}^{3} \right)}^{}}[/tex3]

Que simplificando da a resposta!