IME / ITA ⇒ Alguém tem o poder de provar isso? Tópico resolvido

[Balanar]

ITA (Adaptada)

Prove que :

[tex3]\sqrt[3]{20+14\sqrt[]{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt[]{2}}[/tex3]

é um número racional.

Resposta essa expressão e equivalente a 4

[FilipeCaceres]

Vamos chamar de [tex3]x=\underbrace{\sqrt[3]{20+14\sqrt[]{2}}}_{A}+\underbrace{\sqrt[3]{20-14\sqrt[]{2}}}_{B}[/tex3]

Sabendo que
[tex3](A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)[/tex3]

Substituindo os valores teremos
[tex3](x)^3=20+14\sqrt{2}+20-14\sqrt{2}+3AB(x)[/tex3] ; onde [tex3]AB=\sqrt[3]{(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})}=\sqrt[3]{400-196\cdot2}=\sqrt[3]{8}=2[/tex3]

Reescrevendo temos

[tex3]x^3-6x-40=0[/tex3]

Temos como raízes
[tex3]x=4[/tex3]
[tex3]x=-2-1\sqrt{6}[/tex3]
[tex3]x=-2+1\sqrt{6}[/tex3]

Como x é um valor real, teremos como resposta
[tex3]\boxed{x=4}[/tex3]

Espero ter ajudado

[Balanar]

Vlw ajudo muito!

[Ardovino]

Que foda.