Pré-Vestibular ⇒ (UEM - 2006) Polinômios

[poti]

Considerando o polinômio [tex3]P(x) = (2x^{2}-3x^{3})^{2006}[/tex3], a soma dos seus coeficientes é:

A) 2006
B) -1
C) 1.333.452
D) 1
E) 32

PS: Não tenho gabarito.

[Chris]

Exercício bem bacana, bem difícil e bem fácil ao mesmo tempo. A teoria dele é bem interessante, e visto uma vez vai fazê-lo facilmente da próxima vez.

Se você desenvolvesse esse polinômio, daria um polinômio gigante de grau 4012, com um monte de coeficientes. Se você pegar esse polinômio gigante e colocar um no lugar do x, você concorda que sobrarão apenas os coeficientes? Isso sempre acontece em polinômios. A soma dos coeficientes do mesmo é sempre o P(1). Um exemplo menor:

[tex3]P(x) = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 6x - 10[/tex3]

Se somarmos os coeficientes temos [tex3]1 - 2 + 3 - 5 + 6 - 10[/tex3], que é o mesmo que acontece se calcularmos o P(1).

Resumo da ópera, P(1) é sempre igual a soma dos coeficientes desse polinômio.

Agora, outro fato importante é que, se o polinômio estiver fatorado, podemos calcular P(1) com ele fatorado. Peguemos um outro exemplo:

[tex3]P(x) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3[/tex3]

Calculemos P(1) das duas maneiras:

[tex3]P(1) = 1^3 + 9\ast1^2 + 27\ast1 + 27 = 64[/tex3]

Do mesmo jeito:

[tex3]P(1) = (1 + 3)^3 = 4^3 = 64[/tex3]

Bom, pegando agora o nosso exercício. Sabemos que a soma dos coeficientes é igual ao P(1). Temos o polinômio:

[tex3]P(x) = (2x^2-3x^3)^{2006}[/tex3]

Logo:

[tex3]P(1) = (2\ast1^2-3\ast1^3)^{2006} = (2-3)^{2006} = (-1){2006} = 1[/tex3]

Alternativa D

OBS: Se algum se deparar com um exercício que pede o termo independente do polinômio, é sempre P(0). Dê uma pensada a respeito.

[Natan]

como vc soube que o polinomio tem grau 4012?

[Chris]

Opa, errei. Não vi que estava invertido e que o segundo termo é do terceiro grau. Na verdade o grau será 2006*3 = 6018.

Felizmente isso não altera a resolução do exercício.