Ensino Médio ⇒ Pergunta sobre sucessão dos naturais Tópico resolvido

[Balanar]

Na sucessão dos naturais: 0,1,2.....,4639, quantas vezes aparece o algarismo 6?

Resposta:
1364

Este site tem ela resolvida so que não entendi, alguém poderia me ajudar?
http://www.matematicamuitofacil.com/numeracao.html

[Chris]

Nossa... exercício muito difícil. Cheguei em 1324. Preciso rever como fiz. Ia até postar mas tá muito confuso. Mas depois tento fazer direitinho e se ninguém fizer até lá eu mando. Mas só se quiser tentar, fiz meio que por análise combinatória. Mas tem que dividir em vários casos. Começar com números com um digíto, depois com dois, e por aí vai.

[andrecaldas]

O meu deu 1242...

Vou denotar o número de algarismos 6 de x a y por n(x,y). Então,
n(0,999) = n(1000,1999) = ... = n(3000,3999) = 10x10x10 - 9x9x9 = 271.
n(4000,4099) = ... = n(4500,4599) = 10x10 - 9x9 = 19.
n(4600,4639) = 40 + n(0,39) = 40 + 4.

Assim, somando tudo:
4*271 + 6*19 + 44 = 1242.

Obs: se tiver desconfiado do n(0,999), basta pensar em 0001, 0002, etc. ao invés de 1,2,...

[Chris]

Vou dividir o problema pela quantidade de algarismos do número.

Começando com 1 algarismo, temos apenas um número, o próprio 6. No caso, o 6 apareceu uma vez.
Agora vejamos os números com dois algarismos. Contarei primeiro os números com dois algarismos distintos. Nesse caso, o 6 pode estar na primeira ou na segunda posição.
Estando o 6 na segunda posição, temos oito números possíveis, e em cada um o 6 aparece uma vez. Estando o 6 na segunda posição, temos nove números possíveis, de novo o 6 aparecendo uma vez em cada um.
Além disso, com dois dígitos temos ainda o 66, no qual o 6 aparece duas vezes, logo dois 6 a mais.
Temos até agora 1 + 8 + 9 + 2 = 20 vezes o seis aparecendo.

Agora vamos analisar os números com três algarismos. Novamente, comecemos com o 6 aparecendo uma vez.
Se ele estiver no começo, na segunda posição temos nove algarismos distintos, o mesmo acontecendo na segunda. Logo, são oitenta e um números, o seis aparecendo uma vez em cada. Agora, se o seis não aparecer na primeira casa, ele tem dois lugares para aparecer. Para cada um dos casos, o primeiro dígito tem oito possibilidades (todos exceto 0 e 6) e o outro algarismo que não seis tem nove possibilidades. Ao total, temos setenta e dois números com o 6 aparecendo na segunda posição e outras setenta e duas com o 6 aparecendo na terceira posição, somando um total de cento e quarenta e quatro. Em cada um, o 6 aparece uma vez. Logo:
20 (anteriores) + 81 + 144 = 245 dígitos 6 aparecendo até agora.
Ainda nos números com três dígitos, vamos considerar aqueles no qual o seis aparece duas vezes.
Suponhamos primeiro o caso em que um dos 6 está no primeiro dígito e o outro no segundo. Nesse caso, para o último dígito temos nove possibilidades. O mesmo acontecerá se colocarmos o 6 na primeira e na última possibilidade. Portanto são mais dezoito números com o 6 aparecendo duas vezes, sendo assim, mais trinta e seis vezes o dígito 6.
Agora, se os dois 6 estiverem nos últimos dois dígitos, teremos oito possibilidades para o primeiro dígito. Logo, mais oito números, com dois 6 aparecendo. Ou seja, mais dezesseis vezes o números seis.
Por fim, com três dígitos, temos o número 666, no qual o 6 aparece três vezes.
Vamos somar de novo:
245 (anteriores) + 36 + 16 + 3 = 300

Agora vamos para os números de quatro algarismos. Como queremos até o número 4639, vou começar considerando os números de quatro dígitos até o número 4000. Sendo assim, para o primeiro dígito sempre teremos três opções (1, 2 e 3)
Começarei de novo com o 6 aparecendo uma vez. Ele tem três posições para estar. Os outros dois dígitos restantes tem cada um nove possibilidades. Sendo assim, 9 * 9 * 3 * 3(os três dígitos inicias) = 729. Lembrando que, em cada um desses casos, o 6 aparece apenas uma vez.
Agora, com o 6 aparecendo duas vezes. Ele poderá aparecer de três maneiras distintas (segundo e terceiro algarismo, segundo e quarto ou terceiro e quarto). O outro dígito terá nove possibilidades. Sendo assim, 9 * 3 * 3 = 81 números. Como em cada um o 6 aparece duas vezes, temos o 6 aparecendo mais 162 vezes.
Temos ainda o três aparecendo três vezes. No caso, teríamos apensa três possibilidades (1666, 2666, 3666). Em cada um o 6 aparece três vezes, então são mais nove vezes o dígito 6.
Vamos somar:
300 (anteriores) + 729 + 162 + 9 = 1200
Vamos agora os números entre 4000 e 4599. Nesse caso, para o primeiro dígito temos apenas uma possibilidade (4), enquanto para o segundo temos cinco (0, 1, 2, 3, 4, 5). Vamos de novo começar com o 6 aparecendo uma vez. Se ele estiver no terceiro algarismo, teremos nove possibilidades para o último algarismo. Logo, podemos ter 45 números. O mesmo valerá para o 6 no último dígito. Temos então mais noventa vezes o seis.
Ele aparecendo duas vezes nos traz cinco possibilidades (variação do segundo algarismo). Assim sendo, cinco números com o 6 aparecendo duas vezes são mais dez seis.
1200 (anteriores) + 100 = 1300.
Faltam agora os números começando com 46. O terceiro dígito poderá apenas ser 0, 1, 2 ou 3, já que queremos parar no 4639. Para cada terceiro dígito, o 6 aparecerá duas vezes. Logo, são quatro números com o 6 aparecendo duas vezes. Mais 24 vezes o seis. Somando finalmente:
1300 + 24 = 1324.



Não olhei as outras contas que eu tinha feito e cheguei no mesmo resultado. Alguém acha onde estão os 60 seis que eu esqueci? Boa sorte!

[andrecaldas]

Chris,

Realmente, eu não estava contando direito os algarismos "6" que apareciam mais de uma vez.
Sua conta inicial: 20 e 300, eu reaproveitei abaixo.

Cada vez que eu faço dá um número diferente.

Novamente, vou denotar o número de algarismos 6 de x a y por n(x,y). Então,
n(0,999) = n(1000,1999) = ... = n(3000,3999) = (AB6+A6B+6AB)x1 + (A66+6A6+66A)x2 + (666)x3 = 3x9x9x1 + 3x9x2 + 1x3 = 300.
n(4000,4099) = ... = n(4500,4599) = (A6+6A)x1 + (66)x2 = 2x9x1 + 1x2 = 20.
n(4600,4639) = 40 + n(0,39) = 40 + 4 = 44. (o único que acertei )

Assim, somando tudo:
4*300 + 6*20 + 44 = 1364.

Eu achei esse jeito de "dividir em casos", mas fácil de compreender...

Alguém acha onde estão os 60 seis que eu esqueci? Boa sorte!

Basicamente você não contou os "6" de 4600, 4601, ..., 4605, 4607.
Outra coisa, foi o número 24 que você achou... acho que era 8.

Resumindo, o problema foi:
n(4600,4639) = 40 + n(0,39) = 40 + 4 = 44.

O seu deu 24 ou 8.

[Balanar]

Obrigado a todos