Ensino Superior ⇒ Congruência (Álgebra Moderna)

[Jonathas]

Olá, queria saber como se acha o algarismo das unidades para esse numero 7^(7^100) *sete elevado a um numero muito grande que é sete à 100* usando congruência de modulo 10.
Desde já obrigado!

[andrecaldas]

Olá, Jonathas!

Note que [tex3]7^4 = 1 \,(\mathrm{mod}\, 10)[/tex3]. Assim, para [tex3]n \in \mathbb{Z}[/tex3] qualquer,
[tex3]7^{4n+m} = 1^n * 7^m = 7^m \,(\mathrm{mod}\, 10)[/tex3].

Basta agora determinar [tex3]m[/tex3]. Ou seja, saber quanto é [tex3]7^{100} \,(\mathrm{mod}\, 4)[/tex3]. Como [tex3]7 = -1 \,(\mathrm{mod}\, 4)[/tex3], temos que
[tex3]7^{100} = 1 \,(\mathrm{mod}\, 4)[/tex3]. Assim,
[tex3]7^{(7^{100})} = 7^{4n+1} = 1^n * 7^1 = 7 \,(\mathrm{mod}\, 10)[/tex3].

O algarismo das unidades é [tex3]7[/tex3].