Pré-Vestibular ⇒ (PUC-PR) Sistemas Lineares Tópico resolvido

[Celticpark]

Os valores de a, para que o sistema linear homogêneo admita soluções não todas nulas são:

[tex3]\begin{cases}x+y+3z=0\\2x + 2y -az = 0\\-x +ay = 0\end{cases}[/tex3]

a) [tex3]\begin{array}{cc} -1 &e& -6 \end{array}[/tex3]
b) [tex3]\begin{array}{cc} 1 &e& 2 \end{array}[/tex3]
c) [tex3]\begin{array}{cc} 0&e& 5 \end{array}[/tex3]
d) [tex3]\begin{array}{cc} 2 &e& 3 \end{array}[/tex3]
e) [tex3]\begin{array}{cc} -2 &e& -3 \end{array}[/tex3]

Gabarito:

Resposta

---

A

[Natan]

Olá,

temos um resultado que diz que se o determinante da matriz principal do sistema for não nulo, então o sistema terá solução única, caso contrário ou ele não tem solução alguma ou tem infinitas. Como o sistema é homogênio a hipótese de não ter solução está descartada, visto que claramente [tex3](0,\, 0,\, 0)[/tex3] é solução. Logo ele terá ou somente essa no caso de solução única e determinante diferente de zero, ou essa e mais uma infinidade no caso de determinante nulo, que é o que queremos, com isso :

[tex3]Det \left[ \begin{array}{rrcccrr}
1 &&& 1 && 3 \\
2 &&& 2 && -a\\
-1 &&& a && 0
\end{array} \right]= 0\, \Rightarrow a^2+7a+6=0\, \therefore\, a=-1\, ou\, a=-6[/tex3]