Ensino Médio ⇒ Como eu faço isso? Tópico resolvido

[Balanar]

Alguém pode me mostrar porque, a expressão abaixo e igual a 12?

[tex3]\sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}[/tex3]

[Jbnlima]

Amigos do Forum,

Como o Balanar, também tentei resolver a questão e não consegui. Peço que alguém possa solucioná-la para que possamos aprender. Desdé já fico grato.

[Chris]

Dêem uma olhada nesse tópico aqui.

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... =3&t=15741

Acredito que a resolução saia de uma maneira bem parecida. Se não sair, tento mandar explicado aqui.

[Jbnlima]

Amigo,

Se for possível explique para nós de maneira mais compreensível. Desde já agradeço.

[Chris]

Bom, vamos chamar a expressão dada de x.

[tex3]x = \sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}[/tex3]

Elevamos agora a expressão ao cubo dos dois lados. Temos:

[tex3]x^3 = (\sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}})^3[/tex3]

Lembrando do produto notável que eu coloquei o link:

[tex3](a+b)^3 = a^3 + 3ab(a+b) + b^3[/tex3]

Nesse caso, [tex3]a = \sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}[/tex3] e [tex3]b = \sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}[/tex3].

Sendo assim:

[tex3]a^3 = \sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}^3 = (20-14\sqrt[]{2})^{2} = 400 - 560\sqrt{2} + 392 = 792 - 560\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]b^3 = \sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}^3 = (20+14\sqrt[]{2})^{2} = 400 + 560\sqrt{2} + 392 = 792 + 560\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]a\cdot b = \sqrt[3]{\left(20+14\sqrt{2} \right)^{2}} \cdot \sqrt[3]{\left(20-14\sqrt{2} \right)^{2}} = \sqrt[3]{\left(20+14\sqrt{2} \right)^{2} \cdot \left(20-14\sqrt{2} \right)^{2}} = \sqrt[3]{\left[\left(20+14\sqrt{2} \right) \cdot \left(20-14\sqrt{2} \right) \right]^{2}}[/tex3]

Apareceu uma seta aqui, mas sei lá porque.

Façamos primeiro a multiplicação dentro da raiz:

[tex3]\left(20+14\sqrt{2} \right) \cdot \left(20-14\sqrt{2} \right) = 20^2 - (14\sqrt{2})^2 = 400 - 392 = 8[/tex3]

Portanto:

[tex3]a \cdot b = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4[/tex3]

Vale lembrar também que a + b = x.

Voltemos então ao protudo notável:

[tex3]x^3 = (a+b)^3 = a^3 + 3ab(a+b) + b^3 = 792 - 560\sqrt{2} + 3 \cdot 4 \cdot x + 792 + 560\sqrt{2} =1584 + 12x[/tex3]

Portanto o valor de x será a solução da equação

[tex3]x^3 - 12x - 1584[/tex3]

A única raiz inteira dessa equação é 12, sendo as duas outras imaginárias...

UFA!

[Jbnlima]

Amigo,


Grato pela ajuda. Não pensei que fosse tão complexo. Mas agora compreendi.

[Jbnlima]

Amigo,

Grato pela ajuda, realmente a solução é meio complexa. Mas entendi a resolução.

[Balanar]

Excelente resposta Chris