Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Combinações Completas

[pitirep]

Uma loja de veículos oferece apenas três modelos de um certo automóvel: um popular básico, um cupê médio e um sedã luxuoso. Em uma determinada semana houve a venda de 9 veiculos nessa loja, sem o controle do gerente. Ele agora quer saber quantas unidades de cada modelo foram vendidas. 0 popular, 4 cupes e 5 sedãs? Ou teria sido 3 populares, 2 cupes e 4 sedãs? Ou ...? De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido a venda daquela semana?

[paulo testoniMOD]

Hola Claudio.

Chamando cada carro de:

popular básico [tex3]= a[/tex3]
cupê médio [tex3]= b[/tex3]
seda luxuoso [tex3]= c[/tex3]

Você pode usar a fórmula para achar o número de soluções inteiras não negativas da equação linear:

• [tex3]a + b + c = 9,[/tex3]

não me lembro a fórmula agora.

Uma outra forma seria usar pau I e bola O

como foram vendidos [tex3]9[/tex3] carros, vamos fazer [tex3]9[/tex3] bolas assim:

• O O O O O O O O O,

agora vamos separar essas [tex3]9[/tex3] bolas em três partes (pois são três letras), assim:

• O I O O O O O I O O O,

note que temos [tex3]11[/tex3] símbolos, sendo [tex3]9[/tex3] bolas e [tex3]2[/tex3] paus, então:

• [tex3]\frac{11!}{9!2!} = \frac{11\cdot 10\cdot 9!}{9!2!} = \frac{11\cdot 10}{2}= 55[/tex3] maneiras de ter ocorrido a venda daquela semana. Agora precisa analisar a palavra distintos.

Se uma venda distinta não é dessa forma:

[tex3]1 1 7\\
2 2 5\\
3 3 3[/tex3]
[tex3]4 4 1,[/tex3] então temos que descontar: [tex3]10[/tex3] vendas, logo:

• [tex3]55 - 10 = 45,[/tex3] e a venda [tex3]0 0 9,[/tex3] [tex3]0 9 0[/tex3] e [tex3]9 0 0[/tex3] são vendas distintas?

[Karl Weierstrass]

Olá Paulo,

Acho que [tex3]55[/tex3] é a resposta.

O resultado pedido pode ser dado pelo número de combinações completas de [tex3]3[/tex3] elementos (são três modelos distintos), classe [tex3]9[/tex3]:

• [tex3]CR_{3,\,9}\,=\,C_{3+9-1,\,9}\,=\,C_{11,\,9}\,=\,55.[/tex3]

Note que [tex3](0,\,0,\,9)[/tex3] é diferente de [tex3](9,\,0,\,0),[/tex3] onde a terna ordenada [tex3](x_1,\,x_2,\,x_3)[/tex3] indica quantas unidades dos modelos [tex3]x_1,\,x_2\,\, \text{e}\,\, x_3[/tex3] foram vendidas.

Abraço.