Ensino Médio ⇒ Demostração envolvendo número ímpar Tópico resolvido

[Balanar]

Se k é um número ímpar, prove que [tex3]{k}^{2}-1[/tex3] é divisível por 8.

Sabemos que k é ímpar
Temos que mostrar que [tex3]{k}^{2}-1[/tex3] é divisível por 8, então reescrevendo a expressão [tex3]{k}^{2}-1[/tex3] temos,

[tex3]{k}^{2}-1=\left(k+1 \right)\left(k-1 \right)[/tex3]
Como k é impar, podemos escrever qualquer número k como [tex3]k=2{k}_{1}+1[/tex3]
Então temos,
[tex3]{k}^{2}-1=2{k}_{1}\left(2{k}_{1}+2 \right)=4{k}_{1}\left({k}_{1}+1 \right)[/tex3]
Se no algoritmo da divisão tivermos R=0 dizemos que D é divisível por d ou D é múltiplo de d ou d é divisor de D
Onde D=Dividendo d=divisor R=resto

Como 4 e um múltiplo de 8 então [tex3]{k}^{2}-1[/tex3] é divisível por 8.

Queria ver se ta certo, não so muito bom de demonstrações.
Aguardo respostas

[Chris]

Tem uma falha ali no final. Na verdade 8 é múltiplo de 4, não 4 multiplo de 8. Mas no final acho que importante é perceber que, além de 4 ser divisor de 8, dos números k e k + 1, sendo k um número natural, um dos dois necessariamente é par. Portanto, o produto 4 * k * (k + 1) será um múltiplo de 4 * 2 = 8.

[Balanar]

Corrigindo:
Se no algoritmo da divisão tivermos R=0 dizemos que D é divisível por d ou D é múltiplo de d ou d é divisor de D
No nosso caso :
[tex3]D={k}^{2}-1=4{k}_{1}\left({k}_{1}+1 \right)[/tex3]
e
[tex3]d=8[/tex3]
[tex3]\frac{{k}^{2}-1}{8}=\frac{4{k}_{1}\left({k}_{1}+1 \right)}{8}=\frac{{k}_{1}\left({k}_{1}+1 \right)}{2}[/tex3]

Conclusão :
Uma coisa que eu achei interessante note que para qualquer valor inteiro que você colocar no lugar de [tex3]{k}_{1}[/tex3] a divisão sera exata.
O que prova que [tex3]{k}_{1}[/tex3] é divisível por 8.

Agora acho que está correto.
Aguardo Respostas (O que vocês acham?)

[andrecaldas]

Acho que o mais fácil era usar o fato de (k-1) e (k+1) serem dois números pares consecutivos. Um deles tem que ser múltiplo de quatro. (tem que formalizar )

Uma coisa que eu achei interessante note que para qualquer valor inteiro que você colocar no lugar de [tex3]{k}_{1}[/tex3] a divisão sera exata.
O que prova que [tex3]{k}_{1}[/tex3] é divisível por 8.

[tex3]k_1[/tex3] é um inteiro qualquer! O que será divisível por 8 será [tex3]k^2 - 1[/tex3].

[Chris]

André, eu conhecia esse exercicio e sempre expliquei ele pros alunos dessa maneira que vc falou. O problema e que, para formalizar, acho que vc cai no que o nosso amigo postou. Como explicacao e muito melhor, mas acho que como demonstracao não...

[Chris]

Esqueci de comentar Balanar.

Correto está, mas quando você está fazendo uma demonstração não é legal você colocar que achou interessante. O que você achou interessante é uma das partes fundamentais do exercício.

o produto k(k+1) sempre será par (ou seja, divísível por 2) porque ou o k é par, ou se k não for par, k + 1 o é. Sendo assim, o produto dá par, por isso é divisível por 2. Sacou?

[andrecaldas]

André, eu conhecia esse exercicio e sempre expliquei ele pros alunos dessa maneira que vc falou. O problema e que, para formalizar, acho que vc cai no que o nosso amigo postou. Como explicacao e muito melhor, mas acho que como demonstracao não...

É verdade que é mais complicado do que parece. Como explicação é melhor do que como demonstração, mesmo.

Bom... mas pra não perder a oportunidade. Sejam 2n e 2(n+1) dois pares consecutivos. Se n é impar, então n+1 é par. Ou seja, um dos dois é múltiplo de 4.

É verdade que caímos no mesmo argumento usado na demonstração do Balanar que argumentava que [tex3]k_1[/tex3] ou [tex3]k_1+1[/tex3] é par.

[Chris]

Exato. No final das contas, falar de, ou k ou k+1 é par é necessário para resolver esse exercício. É que o provar que se k-1 é múltiplo de 2, k+1 é múltiplo de quatro é mais chato do que provar que, entre k e k+1, um deles é par.