Pré-Vestibular ⇒ (Ufla 2010 2) Matrizes

[jose carlos de almeida]

Considere a matriz [tex3]A=\left[\begin{array}{cc}x&1\\-3&\frac{1}{\pi}\end{array}\right][/tex3]
Qual é o valor que x deve assumir para que o determinante de [tex3](A^{-1})^{t}[/tex3] seja igual a -3,sabendo-se que [tex3]A^{t}[/tex3] é a matriz transposta de A e [tex3]A^{-1}[/tex3] é a matriz inversa de A ?

A) [tex3]\frac{5}{3}\pi[/tex3]
B) [tex3]\frac{8}{7}\pi+1[/tex3]
C) [tex3]\frac{-10}{3}\pi[/tex3]
D) [tex3]5[/tex3]

Resposta

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C

[Chris]

Primeiramente temos que [tex3]det A^t = det A[/tex3], portanto [tex3]det (A^{-1})^t = detA^{-1}[/tex3]. Além disso, temos que [tex3]det A^{-1} = \frac{1}{det A}[/tex3].

O exercício pede que [tex3]det (A^{-1})^t =-3[/tex3]. Portanto:

[tex3]det (A^{-1})^t =-3 \Rightarrow det A^{-1} = -3 \Rightarrow detA = \frac{-1}{3}[/tex3]

Temos que [tex3]det A = \frac{x}{\pi} + 3 = \frac{-1}{3} \Rightarrow x = \frac{-10\pi}{3}[/tex3]

Alternativa C