Ensino Superior ⇒ Continuidade Tópico resolvido

[Natan]

Verifique justificando, se a função abaixo é contínua:

[tex3]f(x)= \begin{cases} x\sen^2\left( \frac{\pi}{x} \right),\, &\text{ se }\, x \neq 0 \\ 0,\, &\text{ se }\, x=0\end{cases}[/tex3]

[DiegoNunes]

Com o Teorema do Confronto (também denominado Sanduíche), conclui-se facilmente que [tex3]\lim_{x \to 0} x\sen^2\left( \frac{\pi }{x} \right) = 0[/tex3].
Portanto, a função é contínua, já que [tex3]{\lim }\limits_{x \to 0} x\sen^2\left( \frac{\pi }{x} \right) = 0 = f(0)[/tex3].

[Natan]

Como obter tal conclusão?

[DiegoNunes]

Divida em dois casos, quando x tende a 0 pela direita e pela esquerda, pois em um deles x será positivo e no outro negativo.
A parte trigonométrica da função é limitada entre 0 e 1, já que o seno está elevado ao quadrado.
Quando x tende a 0 pela direita, multiplique a desigualdade por x e os sinais de desigualdade não se modificarão. Então você terá que a função dada está entre 0 e x. Aplique o limite quando x tende a 0 pela direita nas extremidades, e pelo Teorema do Confronto, o limite da função dada quando x tende a 0 pela direita será 0.
Proceda de modo análogo, considerando que x tende a 0 pela esquerda. Neste caso o sinal da desigualdade se altera, e a função estará entre x e 0. Da mesma forma, conclui-se que o limite da função quando x tende a 0 pela esquerda é 0.
Como os limites laterais coincidem, conclui-se o que eu disse na resposta anterior.

[Natan]

Valeu mesmo cara!