Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ) Função de 2° Grau Tópico resolvido

[murilonves]

Um avião tem combustível para voar durante 4 horas. Na presença de um vento com velocidade [tex3]v[/tex3] km/h na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é de (300 + v) km/h. Se o avião se desloca em sentido contrario ao do vento, sua velocidade é de (300 - v) km/h.
Suponha que o avião se afaste a uma distãncia [tex3]d[/tex3] do aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade do vento seja constante e tenha a mesma direção que a do movimento do avião.

a) Determine [tex3]d[/tex3] como função de [tex3]v[/tex3].

b) Determine para que o valor de v a distãncia [tex3]d[/tex3] é máxima.

[FilipeCaceres]

Uma vez que a velocidade do vento tem a mesma direção que a da velocidade do avião e considerando que o sentido da velocidade do vento não seja
modificado, então o avião se deslocará no mesmo sentido do vento em metade do percurso de ida e volta e no sentido contrário na outra metade.
Considerando T1 e T2 os tempos gastos nas duas metades do percurso de ida e volta lembrando que no Movimento Retilíneo e Uniforme (M.R.U.)
[tex3]d=v\cdot t[/tex3],

onde:
v representa o módulo da velocidade vetorial;
d o módulo do deslocamento vetorial;
T o intervalo de tempo,

teremos:

[tex3]T_{total}=T_1+T_2[/tex3] ;[tex3]T_{total}=[/tex3] 4h (autonomia de vôo)
[tex3]4 =\frac {d}{300 + v} + \frac{d}{300 - v}[/tex3]
[tex3]4 =d(\frac {1}{300 + v} + \frac{1}{300 - v})[/tex3]
[tex3]4 =d(\frac {300 - v + 300 + v}{(300 + v)(300 - v)})[/tex3]
[tex3]4 =d(\frac {600}{300^2 - v^2})[/tex3]
[tex3]d =4(\frac {300^2 - v^2}{600})[/tex3]
[tex3]d =\frac {90.000 - v^2}{150}[/tex3]

Assim a distância em função de v é [tex3]\boxed{d =\frac {90.000 - v^2}{150}}[/tex3]

Como d é uma função quadrática de v e o coeficiente de [tex3]v^2[/tex3] é negativo (-1/150), podemos concluir que a função admite valor máximo, onde o ponto de máximo é dado por:

[tex3]v = -\frac{b}{2a}[/tex3]
Assim temos
[tex3]v = 0[/tex3]

Portanto,a distância é máxima [tex3]\boxed{d=600km}[/tex3] quando não há vento [tex3]v = 0[/tex3]

Respostas

a) [tex3]\boxed{d =\frac {90.000 - v^2}{150}}[/tex3]
b)A distância é máxima [tex3]\boxed{d=600km}[/tex3] quando não há vento [tex3]v = 0[/tex3]