Ensino Médio ⇒ Congruência de restos (urgente)

[julio14]

Sabendo que [tex3]a^2\equiv 1\pmod{p}[/tex3] , e [tex3]p[/tex3] é primo, com [tex3]a,p\in\mathbb{Z}[/tex3]
mostre que ou [tex3]a\equiv 1\pmod{p}[/tex3] ou [tex3]a\equiv p-1\pmod{p}[/tex3].

PS.:Gostaria que me ajudassem rápido com esse problema.

[andrecaldas]

[tex3]a^2 \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow 0 \equiv a^2 - 1 \equiv (a + 1)(a - 1) \pmod{p}[/tex3].

Ou seja, [tex3]p[/tex3] divide [tex3](a+1)(a-1)[/tex3]. Como [tex3]p[/tex3] é primo, teremos -- pela unicidade da decomposição em primos -- que
[tex3]p[/tex3] divide [tex3]a+1[/tex3]
ou
[tex3]p[/tex3] divide [tex3]a-1[/tex3].
No primeiro caso, [tex3]a \equiv -1 \equiv p-1 \pmod{p}[/tex3]. No segundo, [tex3]a \equiv 1 \pmod{p}[/tex3].