Ensino Médio ⇒ Geomeria Descritiva

[olgario]

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Um dado exercício de Geometria Descritiva pede o seguuinte:
Escreva as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas [tex3]a\text{ e }b[/tex3]. Estando as equações das ditas retas assinaladas no desenho acima.
Partindo do principío de definição de bissetriz, que diz que esta, é uma semi-reta com origem no vértice dum ângulo e que divide este em dois ângulos congruos (que creio, serem adjacentes e de igual amplitude).
No desenho formado pelas duas retas creio haver quatro ângulos, dois obtusos e dois agudos diametralmente opostos, dos quais eu apenas assinalo dois. Um de cada. E com base na tal definição de bissetriz, desenhei uma para cada ângulo apenas com duas retas cujas equações eu creio que são :
[tex3]y= -\frac{1}{3}x+\frac{1}{4},\text{ a azul, e } y=4x+4\text{ a preto, }[/tex3].
No entanto, o livro onde vem o problema, me dá como equação do problema:[tex3]\left(\frac{|3x-4y-1|}{5}\,=\,\frac{|y-1|}{1}\right)[/tex3]
que conduz às seguintes retas:

[tex3]3x-9y+4=0\text{ ou }3x+y-6=0[/tex3]. Que eu creio não serem de modo algum as bissetrizes dos ângulos em questão.
Se eu estiver certo, existe alguma fórmula algébrica idêntica à que o livro dá, para chegar as bissetrizes que eu encontrei ?
Isto, porque eu cheguei até elas por análise do desenho.

Grato a qualquer dica ou solução.
olgario

[Chris]

A resposta dada no livro está correta. Como você fez para achar as suas respostas?

[olgario]

A resposta dada no livro está correta. Como você fez para achar as suas respostas?

Olá Chris. Você tem razão. A resposta do livro está certa.
Eu é que me enganei ao passar a reta [tex3]a[/tex3], tal como ela é dada no livro, [tex3]a :\; 3x-4y\,=\,1[/tex3]. Para a fórmula reduzida correta, que é :[tex3]y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}[/tex3]. Daí, as bissetrizes dos ângulos dadas na solução não "encaixarem" no sítio certo, dado que no desenho que postei, a reta [tex3]a[/tex3] devido ao engano, ter os sinais quer do coeficiente de [tex3]x[/tex3], quer da ordenada na origem, precisamente ao contrário [tex3]\left (a:\; y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}\right)[/tex3] o que fez com que o desenho ficasse completamente no sentido oposto, pois a reta certa, referida mais acima neste texto, fica no sentido crescente, e não no decrescente, como está no desenho.

Ou seja, o desenho que postei está certo, mas, para reta [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] nele assinalada,[tex3]a:\,y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}[/tex3], [tex3]b:\,y=1[/tex3]. Já as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] que eu digo ter "sacado" através da análise do próprio desenho, estão erradas. As corretas são: [tex3]y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}[/tex3] para os ângulos agudos,a azul, e [tex3]y=3x+4[/tex3] para os obtusos, a preto.

[Chris]

Mas como você fez afinal?

[olgario]

Mas como você fez afinal?

Fiz da seguinte forma:

[tex3]\frac{\|3x-4y-1|}{5}\, =\, \frac{|y-1|}{1} \text{ ou }\frac{|3x-4y-1|}{5}\, =\, -\frac{|y-1|}{1}[/tex3]

Desembaraçando de denominadores, chegamos a :

[tex3]3x-9y+4\,=\,0 \text{ ou }3x+y-6\,=\,0[/tex3]

Ou na forma reduzida:

[tex3]y\,=\,\frac{1}{3}x+\frac{4}{9} \text{ ou }y\,=\,-3x+6[/tex3]

Bissetrizes dos ângulos agudos, e dos ângulos obtusos, formados pelas retas [tex3]a \text{ e }b[/tex3]

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[Chris]

Ok. Fez por distância de ponto a reta mesmo. Era só pra ter certeza.