Ensino Superior ⇒ Algumas questões resolvidas - Cálculo 1

[Nesaxtoie]

Questão 1
Calcule o seguinte limite: [tex3]\lim_{x \to \infty} \(1+\frac{12}{x}\)^x[/tex3].

Vejamos:

[tex3]\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{12}{x}\right)^x=\lim_{x \to \infty} e^{x \ln\left(1+\frac{12}{x}\right)}=e^{\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{12}{x}\right)}[/tex3].

[tex3]\lim_{x \to \infty} x\cdot \ln \(1+\frac{12}{x}\)=\lim_{x \to \infty} \frac{\ln \(1+\frac{12}{x}\)}{\frac{1}{x}}=[/tex3] por L'Hopital [tex3]=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{12}{x}}\cdot \(\frac{-12}{x^2}\)}{\frac{-1}{x^2}}= \lim_{x \to \infty}\frac{12}{1+\frac{12}{x}}=12\cdot [/tex3]

Portanto,

[tex3]\lim_{x \to \infty} \(1+\frac{12}{x}\)^x=e^{12}\cdot [/tex3]

[Nesaxtoie]

Questão 2
Encontre a equação da reta tangente à elipse [tex3]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3] no ponto [tex3](xo,yo)[/tex3], onde [tex3]yo\neq 0.[/tex3]

Vejamos:

Aplicando-se diferenciação implícita, obtém-se

[tex3]\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0\Rightarrow y'=-\frac{b^2}{a^2}.\frac{x}{y}[/tex3].

Portanto, a inclinação da reta tangente à elipse em [tex3](xo,yo)[/tex3] é dada por

[tex3]m=y'(xo,yo)=-\frac{b^2}{a^2}.\frac{xo}{yo}[/tex3]

Como a equação da reta tangente em [tex3](xo,yo)[/tex3] é

[tex3]y-yo=m.(x-xo)\Rightarrow y=yo-\frac{b^2}{a^2}.\frac{xo}{yo}(x-xo)[/tex3] [1]

A resposta dada assim já estaria correta, mas podemos manipular [1] para obter

[tex3]\frac{yoy-yo^2}{b^2}=-\frac{xo}{a^2}.(x-xo)=-\frac{xox}{a^2}+\frac{xo^2}{a^2}\Rightarrow \frac{yoy}{b^2}=(\frac{xo^2}{a^2}+\frac{yo^2}{b^2})-\frac{xox}{a^2}= (1)-\frac{xox}{a^2}\Rightarrow \frac{xox}{a^2}+\frac{yoy}{b^2}=1.[/tex3]

[Nesaxtoie]

Questão 3
Encontre as dimensões do triângulo isósceles de maior área inscrito em uma circunferência de raio [tex3]r[/tex3].

Vejamos:

Trata-se de um problema de otimização. Um esboço para ajudar na resolução do problema segue abaixo:

Triângulo.jpg (11.89 KiB) Exibido 4879 vezes

Do triângulo retângulo, têm-se

[tex3]r^2=x^2+y^2\Rightarrow y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex3] [1]

A área do triângulo é dada por

[tex3]A(x,y)=\frac{2x.(r+y)}{2}=xr+xy\Rightarrow[/tex3] por [1][tex3]\Rightarrow A(x)=xr+x\sqrt{r^2-x^2}[/tex3] [2]

Derivando [2], segue que

[tex3]A'(x)=r+\sqrt{r^2-x^2}+x.\frac{1}{2.\sqrt{r^2-x^2}}.(-2x)=r+\sqrt{r^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{r.\sqrt{r^2-x^2}+r^2-x^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}[/tex3] [3]

Igualando [3] a [tex3]0[/tex3] para encontrar os pontos críticos, segue que

[tex3]r.\sqrt{r^2-x^2}+r^2-2x^2=0\Rightarrow r.\sqrt{r^2-x^2}=2x^2-r^2\Rightarrow[/tex3] Elevando ambos os lados ao quadrado [tex3]\Rightarrow r^2.(r^2-x^2)=4x^4-4x^2r^2+r^4 \Rightarrow 4x^4-3r^2x^2=0 \Rightarrow[/tex3] Como [tex3]x\neq 0[/tex3] [tex3]\Rightarrow 4x^2=3r^2\Rightarrow x=\frac{r\sqrt{3}}{2}.[/tex3]

Finalmente, aplicando esse valor em [1], segue que

[tex3]y=\frac{r}{2}[/tex3].

Portanto, as dimensões do triângulo isósceles são:

Altura: [tex3]r+y=r+\frac{r}{2}=\frac{3r}{2}[/tex3].
Base: [tex3]2.x=2.(\frac{r\sqrt{3}}{2})=r\sqrt{3}.[/tex3]