IME / ITA ⇒ (ITA-Adaptada) Divisão euclidiana Tópico resolvido

[Balanar]

Prove que numa divisão euclidiana cujo resto não e nulo, o menor número que se deve adicionar ao dividendo para que ela se torne exata é :

(d-r), sendo d o divisor e r o resto.

Lembrando que numa divisão qualquer temos:

dividendo= divisor.quociente + resto.

[cajuADMIN]

Olá Balanar

Acredito que o enunciado seria mais correto se fosse:

Prove que numa divisão euclidiana cujo resto não e nulo, o menor número POSITIVO que se deve adicionar...

Pode ser uma chatice matemática, mas evita maiores problemas.

Vou resolver pensando no enunciado alternativo.

[tex3](1)\boxed{D=d\cdot q+r}[/tex3]

Queremos encontrar [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]D+x[/tex3] seja divisível por [tex3]d[/tex3] e [tex3]x[/tex3] seja o menor possível.

Se iremos aumentar o valor de [tex3]D[/tex3], é óbvio que o novo quociente deverá será maior do que o de antes ([tex3]q[/tex3]). E como [tex3]q\in N[/tex3], o menor [tex3]x[/tex3] irá acontecer quando [tex3]q[/tex3] for uma unidade maior.

Sendo assim, a nova divisão (exata, ou seja, resto ZERO), poderá ser escrita como sendo:

[tex3](2)\boxed{D+x=(q+1)\cdot d+0}[/tex3]

Substituindo (1) em (2)

[tex3]d\cdot q+r+x=(q+1)\cdot d+0[/tex3]

Isolando [tex3]x[/tex3]:

[tex3]\boxed{\boxed{x=d-r}}\text{ c.q.d.}[/tex3]