Ensino Médio ⇒ Propriedades dos Determinantes Tópico resolvido

[orochi]

Seja [tex3]A[/tex3] uma matriz quadrada, de ordem [tex3]3[/tex3], e tal que [tex3]\det A \neq 0[/tex3]. Se [tex3](\det A)^2 = \det (2A)[/tex3], então [tex3]\sqrt[3]{\det(5A)}[/tex3] é igual a:

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

Resposta

---

Resposta: E

[theblackmamba]

Seja [tex3]det\,A=x[/tex3].

Se multiplicamos uma matriz de ordem [tex3]n[/tex3] por uma constante [tex3]k[/tex3] o seu determinante fica multiplicado por [tex3]k^n[/tex3].

Multiplicando a matriz A por 2:
[tex3]det(2A)=x\cdot 2^3=8x[/tex3]

Logo,
[tex3]x^2=8x[/tex3]. Como [tex3]x\neq 0[/tex3]
[tex3]x=8[/tex3]

Multiplicando a matriz A por 5:
[tex3]det(5A)=5^3\cdot 8=1000=10^3[/tex3]

Portanto,
[tex3]\sqrt[3]{det(5A)}=\sqrt[3]{10^3}=\boxed{10}[/tex3]