Olimpíadas ⇒ Probabilidade Pôquer (Poker - Baralho)

[rean]

Um baralho de 32 cartas e formado por 8 "grupos" seguintes:

7 , 8, 9, 10, valete, rei, e ás

Retirando desse baralho, simultaneamente, cinco cartas.

Quantos são os agrupamentos possíveis em que aparece: um par, uma trinca, um full-hand um flush, uma sequência e um straight-flush ?

Resposta

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Resp.
107.520
10572
1344
224
4.096
16

[leotrin]

Eu recomendo que você comece de baixo pra cima. Pelo menos na minha opinião é melhor começar dos mais fáceis e dá até pra usar os resultados obtidos nos mais fáceis pra calcular os mais complexos.

iii) Full-House:
Para fazermos um full-house, devemos fazer uma trinca e um par.
Temos 8 cartas de cada naipe, sendo 4 naipes. Para fazermos um par, temos 4 cartas de cada valor e devemos escolher 2, então temos uma combinação de 4 agrupando 2 a 2. Como temos 8 valores diferentes, teremos 8 vezes a combinação supracitada.
Além disso, para fazermos uma trinca, temos agora 4 cartas de cada valor e devemos escolher 3, então temos uma combinação de 4 agrupando 3 a 3. Como temos agora 7 valores diferentes (já excluindo o primeiro valor da primeira escolha, pois só sobrariam 2 cartas e não daria pra escolher 3), então temos 7 vezes o valor desta combinação.
Com isso, temos: [tex3]8. C_{4,2} . 7. C_{4,3} = 8.7.6.4 = \boxed{1344}[/tex3]

iv) Flush:
Temos 8 cartas de cada naipe, sendo 4 naipes.
Para fazermos flush com um naipe, entre as 8 cartas que temos, devemos escolher 5, sendo assim, temos uma combinação de 8 agrupando 5 a 5.
Como temos 4 naipes, será 4 vezes a combinação supracitada.
Assim temos: [tex3]4 . C_{8,5} = 4.8.7 = \boxed{224}[/tex3]

v) Straight:
Para fazermos um straight, podemos pegar 7, 8, 9 ou 10 como primeira carta da sequencia, ou seja, 4 possibilidades de escolha em cada naipe, como temos 4 naipes, temos 16 possibilidades de escolha de primeira carta.
As carta seguintes já estão definidas, porém podem ser de qualquer naipe, como temos 4 naipes, teremos 4.4.4.4 possibilidades de escolhar pras últimas 4 cartas.
Sendo assim, temos: [tex3]16.4.4.4.4 = \boxed{4096}[/tex3]

vi) Straight-Flush:
Para fazermos um straight-flush, podemos pegar 7, 8, 9 ou 10 como primeira carta da sequencia, ou seja, 4 possibilidades de escolha em cada naipe, como temos 4 naipes, temos 16 possibilidades de escolha de primeira carta.
Como as cartas seguintes já estão definidas e devem, obrigatoriamente, ser de mesmo naipe da primeira escolha, então teremos só uma escolha pras últimas 4 cartas.
Então, temos: [tex3]16.1.1.1.1 = \boxed{16}[/tex3]

[leotrin]

Hoje mais tarde eu tento resolver o resto dessa questão.
Mas só pra saber, neste exercício, quando pergunta-se o número de agrupamentos possíveis que contenham um par, quer saber os agrupamentos que só contenham um par (ex 77KQJ, KK79T, AA8Q9 etc.) ou ele quer saber que aparece qualquer que seja o par, mesmo que seja uma trinca ou uma quadra (ex AAAQK, JJJJ7 etc)?

[leotrin]

Cara, realmente não sei, mas vou colocar aqui meu raciocínio para as duas que faltam, verifiquem se está correto:

i) Par:
Para termos apenas um par, temos 8 "valores" de cartas (7, 8, 9, T, J, Q, K e A), com 4 naipes cada. Então para fazermos um par, temos 4 cartas, para serem agrupadas de 2 em 2, tendo uma combinação de 4 tomadas 2 a 2. Como são 8 "valores" de cartas, temos 8x essa combinação. Para as outras 3 cartas, sem fazer mais pares, temos 7 "valores", para escolhermos 3, tendo assim uma combinação de 7 tomadas 3 a 3. Como são 4 naipes para cada "valor", tendo 3 "valores", temos [tex3]4\cdot 4\cdot 4[/tex3]
Então, temos: [tex3]8\cdot C_{4,2}\cdot C_{7,3}\cdot 4^{3} = \boxed{107\,520}[/tex3]

ii) Trinca:
Para termos apenas uma trinca, temos 8 "valores" de cartas (7, 8, 9, T, J, Q, K e A), com 4 naipes cada. Então para fazermos uma trinca, temos 4 cartas, para serem agrupadas de 3 em 3, tendo uma combinação de 4 tomadas 3 a 3. Como são 8 "valores" de cartas, temos 8x essa combinação. Para as outras 2 cartas, sem fazer mais par, temos 7 "valores", para escolhermos 2, tendo assim uma combinação de 7 tomadas 2 a 2. Como são 4 naipes para cada "valor", tendo 2 "valores", temos [tex3]4\cdot 4[/tex3]
Por isso, temos: [tex3]8\cdot C_{4,3}\cdot C_{7,2}\cdot 4^{2} = \boxed{10\,752}[/tex3]

iii) Full-House:
Para fazermos um full-house, devemos fazer uma trinca e um par.
Temos 8 cartas de cada naipe, sendo 4 naipes. Para fazermos um par, temos 4 cartas de cada valor e devemos escolher 2, então temos uma combinação de 4 agrupando 2 a 2. Como temos 8 valores diferentes, teremos 8 vezes a combinação supracitada.
Além disso, para fazermos uma trinca, temos agora 4 cartas de cada valor e devemos escolher 3, então temos uma combinação de 4 agrupando 3 a 3. Como temos agora 7 valores diferentes (já excluindo o primeiro valor da primeira escolha, pois só sobrariam 2 cartas e não daria pra escolher 3), então temos 7 vezes o valor desta combinação.
Com isso, temos: [tex3]8\cdot C_{4,2} \cdot 7\cdot C_{4,3} = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 4 = \boxed{1344}[/tex3]

iv) Flush:
Temos 8 cartas de cada naipe, sendo 4 naipes.
Para fazermos flush com um naipe, entre as 8 cartas que temos, devemos escolher 5, sendo assim, temos uma combinação de 8 agrupando 5 a 5.
Como temos 4 naipes, será 4 vezes a combinação supracitada.
Assim temos: [tex3]4 \cdot C_{8,5} = 4\cdot 8\cdot 7 = \boxed{224}[/tex3]

v) Straight:
Para fazermos um straight, podemos pegar 7, 8, 9 ou 10 como primeira carta da sequencia, ou seja, 4 possibilidades de escolha em cada naipe, como temos 4 naipes, temos 16 possibilidades de escolha de primeira carta.
As carta seguintes já estão definidas, porém podem ser de qualquer naipe, como temos 4 naipes, teremos [tex3]4\cdot 4\cdot 4\cdot 4[/tex3] possibilidades de escolher pras últimas 4 cartas.
Sendo assim, temos: [tex3]16\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 = \boxed{4096}[/tex3]

vi) Straight-Flush:
Para fazermos um straight-flush, podemos pegar 7, 8, 9 ou 10 como primeira carta da sequencia, ou seja, 4 possibilidades de escolha em cada naipe, como temos 4 naipes, temos 16 possibilidades de escolha de primeira carta.
Como as cartas seguintes já estão definidas e devem, obrigatoriamente, ser de mesmo naipe da primeira escolha, então teremos só uma escolha pras últimas 4 cartas.
Então, temos: [tex3]16\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = \boxed{16}[/tex3]