Pré-Vestibular ⇒ (UFRN - 2008) Função

[cesaraugusto]

Um pintor de quadros de uma feira de artesanato calculou que o custo total de uma tela pequena é de R$ 30,00 . Ele acredita que se vender cada tela por x reais, venderá, por mês , 90 - x telas ( 0<x<90).

a) O lucro de L obtido pelo pintor é função do preço de venda x. Excreva a lei que define L (x).
b) Qual será seu lucro mensal se o preço de venda de cada tela for de R$ 40,00? Para que o valor de x o pintor terá lucro máximo?

[Chris]

Bom, comecemos naturalmente pelo item a.

Primeiro, o lucro de uma empresa é a diferença entre a receita (o que a empresa ganha) e o custo (o que a empresa gasta). O custo nesse caso é bem simples. Se cada tela custa R$ 30,00, o custo da empresa é dado por C(x) = 30x.

Já a receita é dada pelo multiplicação do preço de venda de cada unidade pela quantidade vendida. Nesse caso, [tex3]R(x) = x(90-x) = -x^2 + 90x[/tex3]

Logo, o lucro será de [tex3]L(x) = R(x) - C(x) = -x^2 + 60x[/tex3]

b) Na primeira parte do item, basta calcular L(40).

Já a segunda é um pouco mais complicada. A função lucro é uma função do segundo grau, logo seu gráfico é uma parábola. Sua concavidade é virada para baixo, pois o a é negativo (-1). As suas raízes são facilmente calculáveis (0 e 60). Basta lembrar que o vértice de uma parábola sempre se encontra no valor de x exatamente no meio das duas raízes. Portanto, nesse caso, para calcular o lucro máximo, basta calcular o valor de L(30).