Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Soviética) Álgebra - Divisibilidade

[ViniciusHarlock]

Prove que [tex3](a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}[/tex3] é divisível por [tex3](a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}[/tex3]

[lftm]

[tex3]m = (a+b+c)^3 - a^3 -b^3 - c^3 = 3ab^2 + 3ac^2 + 3ba^2 + 3bc^2 + 3ca^2 + 3cb^2 + 6abc =[/tex3]
[tex3]m=3(b^2(a+c)+ac(a+c)+ab(a+c)+bc(a+c)) = 3(a+c)(b^2+ba+bc+ac) =[/tex3]
[tex3]m=3(a+c)(b(b+a)+c(b+a)) = \boxed{3(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex3]

Analogamente, [tex3]n = (a+b+c)^{333} - a^{333} - b^{333} - c^{333} = 3(a^{111}+b^{111})(b^{111}+c^{111})(c^{111}+a^{111})[/tex3]

Como 111 é ímpar, podemos abrir a soma de potências:
[tex3]n = 3(a+b)(a^{110} - a^{109}b + ... + b^{110})(b+c)(b^{110} - b^{109}c + ... + b^{110})(c+a)(c^{110} - c^{109}a + ... + a^{110})[/tex3]
[tex3]n = 3(a+b)(b+c)(c+a)q = mq[/tex3], para algum inteiro q. Logo, m divide n.