IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2010) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Seja [tex3]L[/tex3] uma lata de forma cilíndrica, sem tampa, de raio da base [tex3]r[/tex3] e altura [tex3]h[/tex3]. Se a área da superfície de [tex3]L[/tex3] mede [tex3]54\pi a^2\text{ cm}^2[/tex3], qual deve ser o valor de [tex3]\sqrt{r^2+h^2}[/tex3], para que [tex3]L[/tex3] tenha volume máximo?

(A) [tex3]a\text{ cm}[/tex3]
(B) [tex3]3a\text{ cm}[/tex3]
(C) [tex3]6a\text{ cm}[/tex3]
(D) [tex3]9a\text{ cm}[/tex3]
(E) [tex3]12a\text{ cm}[/tex3]

[adrianotavares]

Olá,Aldrin.

De acordo com o enunciado temos:

[tex3]\pi r^2+2\pi rh=54\pi a^2 \Rightarrow h=\frac{54a^2-r^2}{2r}[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]V=\pi r^2h[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]V=\pi r^2.\left(\frac{54a^2-r^2}{2r}\right) \Rightarrow V=\frac{\pi}{2}(54a^2r-r^3)[/tex3]

Calculando [tex3]\frac{dV}{dr}[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{dV}{dr}=\frac{\pi}{2}(54a^2-3r^2)[/tex3]

Fazendo-se [tex3]\frac{dV}{dr}=0[/tex3] teremos:

[tex3]54a^2-3r^2=0 \Rightarrow 3r^2=54a^2 \Rightarrow r^2=18a^2[/tex3]

[tex3]h=\frac{54a^2-r^2}{2r} \Rightarrow h=\frac{54a^2-18a^2}{2r} \Rightarrow h=\frac{36a^2}{2r}[/tex3]

Elevando [tex3]h^2[/tex3] teremos:

[tex3]h^2=\frac{1296a^4}{4r^2} \Rightarrow h^2=\frac{1296a^4}{72a^2} \Rightarrow h^2=18a^2[/tex3]

Logo, [tex3]\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{36a^2}=6a[/tex3]

Alternativa:C