IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2010) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Uma progressão geométrica infinita tem o [tex3]4^\circ[/tex3] termo igual a [tex3]5[/tex3]. O logaritmo na base [tex3]5[/tex3] do produto de seus [tex3]10[/tex3] primeiros termos vale [tex3]10-15log_5 2[/tex3]. Se [tex3]S[/tex3] é a soma desta progressão, então o valor de [tex3]log_2 S[/tex3] é

(A) [tex3]2+3log_2 5[/tex3].
(B) [tex3]2+log_2 5[/tex3].
(C) [tex3]4+log_2 5[/tex3].
(D) [tex3]1+2log_2 5[/tex3].
(E) [tex3]4+2log_2 5[/tex3].

[MacoZampi]

[tex3]log_5 (a_1*a_2*a_3*a_4*a_5*a_6*a_7*a_8*a_9*a_{10}) = 10-15log_5 (2)[/tex3]

agora vamos escrever os outros termos em função de [tex3]a_4[/tex3] e da razão da PG, por exemplo:

[tex3]a_1=a_4*q^{-3}[/tex3]
[tex3]a_{10}=a_4*q^{6}[/tex3]

[tex3]a_4=5[/tex3], substituindo na primeira equação fica:

[tex3]log_5 (5^{10}*q^{15}) = 10-15log_5 (2)[/tex3]

[tex3]log_5 (5^{10}) + log_5 (q^{15}) = 10-15log_5 (2)[/tex3]

[tex3]10 + 15log_5 (q) = 10-15log_5 (2)[/tex3]

[tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

agora a gente acha [tex3]a_1[/tex3]

[tex3]a_1=5*q^{-3}[/tex3]

[tex3]a_1=40[/tex3]

agora achamos a soma S

[tex3]S = \frac{a_1}{1-q}[/tex3]

[tex3]S=\frac{40}{1-\frac{1}{2}} = 80[/tex3]

ai eh soh fatorar 80, aplicar log e... não tem nenhuma alternativa ehuaheuaheuaheu, sei lah

[ALDRINMOD]

[tex3]log_5 (a_1*a_2*a_3*a_4*a_5*a_6*a_7*a_8*a_9*a_{10}) = 10-15log_5 (2)[/tex3]

agora vamos escrever os outros termos em função de [tex3]a_4[/tex3] e da razão da PG, por exemplo:

[tex3]a_1=a_4*q^{-3}[/tex3]
[tex3]a_{10}=a_4*q^{6}[/tex3]

[tex3]a_4=5[/tex3], substituindo na primeira equação fica:

[tex3]log_5 (5^{10}*q^{15}) = 10-15log_5 (2)[/tex3]

[tex3]log_5 (5^{10}) + log_5 (q^{15}) = 10-15log_5 (2)[/tex3]

[tex3]10 + 15log_5 (q) = 10-15log_5 (2)[/tex3]

[tex3]q=\frac{1}{2}[/tex3]

agora a gente acha [tex3]a_1[/tex3]

[tex3]a_1=5*q^{-3}[/tex3]

[tex3]a_1=40[/tex3]

agora achamos a soma S

[tex3]S = \frac{a_1}{1-q}[/tex3]

[tex3]S=\frac{40}{1-\frac{1}{2}} = 80[/tex3]

ai eh soh fatorar 80, aplicar log e... não tem nenhuma alternativa ehuaheuaheuaheu, sei lah

[tex3]log_2 80=log_2 10+log_2 8=1+log_2 5+3=4+log_2 5[/tex3]