IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2007) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[Flavio2008]

Num triângulo acutângulo qualquer [tex3]ABC,[/tex3] os pontos [tex3]D, E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são, respectivamente, os pés das alturas [tex3]AD, BE[/tex3] e [tex3]CF.[/tex3] Traçam-se, a partir de [tex3]D,[/tex3] as semi-retas [tex3]DE[/tex3] e [tex3]DF.[/tex3] Uma reta [tex3]r[/tex3] passa por [tex3]A,[/tex3] intersectando a semi-reta [tex3]DE[/tex3] em [tex3]G[/tex3] e a semireta [tex3]DF[/tex3] em [tex3]H.[/tex3] Qualquer que seja a reta [tex3]r,[/tex3] pode-se afirmar que:

a) [tex3]AG:AH :: DG:DH[/tex3]
b) [tex3]EG:DE :: FH:DF[/tex3]
c) [tex3]DG:DH :: DE:DF[/tex3]
d) [tex3]AG:GE :: AH:HF[/tex3]
e) [tex3]DE:AG :: DF:AH[/tex3]

[edu_landim]

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Os quadriláteros [tex3]BDOF[/tex3] e [tex3]CDOE[/tex3] são inscritíveis por apresentarem ângulos opostos suplementares.

Os ângulos [tex3]E\hat{C}O[/tex3] e [tex3]E\hat{D}O[/tex3] são congruentes por serem inscritos e observarem o mesmo arco. (destaque em vermelho)

O mesmo ocorre com os ângulos [tex3]F\hat{B}O[/tex3] e [tex3]F\hat{D}O[/tex3] na outra circunferência. (destaque em verde)

OS triângulos [tex3]CFA[/tex3] e [tex3]BEA[/tex3] são retângulos. Pelo [tex3]\triangle BEA[/tex3] vemos que o ângulo [tex3]A\hat{B}E[/tex3] (ângulo em destaque verde) é o complemento do [tex3]\hat{A}[/tex3] (ângulo em destaque azul). Pelo [tex3]\triangle CFA[/tex3] vemos que o mesmo ocorre como ângulo [tex3]A\hat{C}F[/tex3] (ângulo em destaque vermelho).

Concluimos que os ângulos destacados em verde e em vermelho são congruentes, e por isso [tex3]\overline{DA}[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]G\hat{D}H[/tex3]. Aplicando o teorema da bisstriz interna no [tex3]\triangle DGH[/tex3] temos

• [tex3]\frac{AG}{AH}\,=\,\frac{DG}{DH}[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Revivendo o tópico para afirmar que o tamanho da resolução do @edu_landim , para a hora da prova, poderia ser reduzida sabendo-se que:

Propriedade do triângulo órtico:
As alturas de um triângulo acutângulo ABC são as bissetrizes de seu triângulo órtico.