Pré-Vestibular ⇒ (CESGRANRIO - 1993) Limite Tópico resolvido

[poti]

Na poligonal a seguir, de lados [tex3]P_{0}P_{1}, P_{1}P_{2}, P_{2}P_{3}[/tex3]...[tex3]P_{n-1}P_{n}[/tex3] cada lado é perpendicular ao anterior e tem comprimento igual à metade do comprimento do lado anterior.

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Se

[tex3]P_{0}P_{1} = 1[/tex3]

então quando [tex3]n[/tex3] tende para o infinito, o limite da distância entre os vértices [tex3]P_{0}[/tex3] e [tex3]P_{n}[/tex3] vale:

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]2\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex3]
c) [tex3]2\frac{\sqrt{3}}{5}[/tex3]
d) [tex3]4/5[/tex3]
e) [tex3]2\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]

[fabit]

Bota um sistema de coordenadas nisso, tipo P0 na origem e P1=(0,1).

Então os segmentos [tex3]P_{2k}P_{2k+1}[/tex3] são verticais e os [tex3]P_{2k-1}P_{2k}[/tex3] são horizontais.

O limite é o ponto cuja abscissa vale a soma [tex3]x=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{32}-+...=\frac{1/2}{1-\(-\frac{1}{4}\)}=\frac{1/2}{5/4}=\frac{2}{5}[/tex3] e cuja ordenada vale [tex3]y=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-+...=\frac{1}{1-\(-\frac{1}{4}\)}=\frac{4}{5}[/tex3].

[tex3]P_n\to\(\frac{2}{5},\,\frac{4}{5}\)[/tex3], cuja distância à origem (onde está P1) é [tex3]\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3].

Não encontrei essa resposta entre as alternativas.

Xiiii... confere aí por favor, pois ou eu errei ou as alternativas foram copiadas erradas ou a questão deve ser anulada.

[poti]

Eu escrevi errado a letra E, sua resposta está corretíssima =)

Obrigado.