Ensino Médio ⇒ É possível encontrar esta função inversa ?

[psdias]

Pessoal:

Solicito ajuda para encontrar a inversa da seguinte função:

y=(4x-1)/(2x+3)

Examinando o gráfico dessa função (fiz no software Geogebra) ,
vi que é uma função crescente, o que significa que tem inversa.

É possível isolar o x, para depois trocar os nomes das variáveis
(x por y e y por x) e obter uma expressão para a função inversa ?
Ou este é um caso em que sabemos que há função inversa (graficamente)

Obs.: Na verdade essa função apresenta uma descontinuidade, e tem de ser
estudada em dois intervalos:

menos infinito a -3/2 (exclusive)
-3/2 (exclusive) a mais infinito

Em relação à função inversa, isso implica em algo ?

Grato pela atenção de todos
Paulo

[Chris]

Oi Paulo,

a descontinuidade não tem problema contanto que o Domínio e o Contra-Domínio da função sejam dados de maneira correta.

Bom, a função é:

[tex3]y = \frac{4x-1}{2x+3}[/tex3]

Trocando as incógnitas temos:

[tex3]x = \frac{4y-1}{2y+3}[/tex3]

e agora você quer isolar o y. Vamos lá então, primeiro multiplicamos a igualdade por [tex3]2y+3[/tex3] dos dois lados.

[tex3]x(2y+3) = 4y-1 \Rightarrow 2xy+3x = 4y-1[/tex3]

Aqui vem o segredo que as pessoas se confundem normalmente. Você quer isolar o [tex3]y[/tex3], certo? Então vamos deixar tudo bom y de um lado, tudo sem y do outro. Esquece o x.

[tex3]2xy - 4y = -3x - 1 \Rightarrow 4y - 2xy = 3x + 1[/tex3]

Agora, colocando o y em evidência, temos:

[tex3]y(4-2x) = 3x+1 \Rightarrow y = \frac{3x+1}{4-2x}[/tex3]

Pronto, aí está sua função inversa. Como o domínio dessa função é [tex3]x \neq 2[/tex3], para que essa função exista, é necessário que o Contra Domínio da função original exclua o valor 2 também.

[psdias]

Olá, Christian !

Por distração, não havia percebido uma das passagens que você mostrou.
Mas agora entendi, e inclusive consegui resolver uma questão semelhante, com um formato até um pouco
mais complicado.

Muito obrigado pela ajuda !
Até mais !