IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1987) Geometria Plana Tópico resolvido

[eureka]

O vértice E de um triângulo eqüilátero ABE está no interior de um quadrado ABCD e F é o ponto de interseção da diagonal BD e o lado AE. Se amedida de AB é igual a \sqrt{1+\sqrt{3}}, então a área do triângulo BEF é:

[adrianotavares]

Olá,eureka.

(Colégio Naval- 1987) Geometria Plana.GIF (3.59 KiB) Exibido 1598 vezes

Note que [tex3]\Delta ADE[/tex3] é isósceles.

Aplicando o teorema dos cossenos teremos:

[tex3](DE)^2=(\sqrt{1+\sqrt{3}})^2+(\sqrt{1+\sqrt{3}})^2-2.\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}.cos30^\circ \Rightarrow[/tex3]

[tex3](DE)^2=1+\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-2(1+\sqrt{3}).\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow (DE)^2=\sqrt{3}-1 \Rightarrow DE=\sqrt{\sqrt{3}-1}[/tex3]

Note também que o [tex3]\Delta DFE[/tex3] também é isósceles.Calculando sua área teremos:

[tex3]A_{DFE}=\frac{(DE).(DE).sen30^\circ}{2} \Rightarrow A_{DFE}=\frac{(DE)^2}{4} \Rightarrow A_{DFE}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}[/tex3]

A área do [tex3]\Delta BEF[/tex3] é igual a área do [tex3]\Delta DEB[/tex3] menos a área do [tex3]\Delta DFE[/tex3]

[tex3]A_{BEF}=\frac{(\sqrt{\sqrt{3}+1})(\sqrt{\sqrt{3}-1}).sen135^\circ}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{4} \Rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{BEF}=\frac{\sqrt{3-1}.\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{4} \Rightarrow A_{BEF}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{4}\Rightarrow A_{BEF}=\frac{3-\sqrt{3}}{4}[/tex3]