Ensino Superior ⇒ Integral Dupla Tópico resolvido

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As integral abaixo não pode ser calculada exatamente em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada. Inverta a ordem de integração e faça os cálculos.

[tex3]\int^1_0 \int^1_y e^{x^2} dxdy=[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe:

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}e^{x^{2}}dxdy[/tex3]

A região acima dada é do tipo 2

{[tex3](x,y)\in \mathbb{R}^{2}: y\leq x\leq 1 \ e \ 0\leq y\leq 1 [/tex3]}

Esboçando o gráfico temos:

15182346514851965819887.jpg (47.78 KiB) Exibido 543 vezes

De acordo com o gráfico acima, a região agora será do tipo 1, temos então;

{[tex3](x,y)\in \mathbb{R}^{2}: 0\leq y\leq
x \ e \ 0\leq x\leq 1 [/tex3]}

Daí;

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{x}e^{x^{2}}dydx = [/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{1} ye^{x^{2}}dx = [/tex3]

Substituindo os integrantes x e 0 acima, fica;

[tex3]\int\limits_{0}^{1} xe^{x^{2}}dx = [/tex3]

[tex3]\frac{e^{x^{2}}}{2} = [/tex3]

Substituindo os limites de integração 1 e 0, vem;

[tex3]\frac{e^{1^{2}}}{2} - \frac{e^{0^{2}}}{2} = [/tex3]

[tex3]\frac{e}{2} - \frac{1}{2} = [/tex3]

[tex3]\frac{e - 1}{2}[/tex3]

Portanto, o valor da integral dupla vale [tex3]\frac{1}{2}(e - 1)[/tex3]


Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!