Ensino Médio ⇒ Hexágono regular circunscrito/triângulo equilátero inscrito

[Newton]

Olá, alguém poderia me ajudar? Agradeço desde já!

Determine a razão entre a área do hexágono regular circunscrito a uma circunferência e a área do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência.

A resposta que tenho é: 8/3

[adrianotavares]

Olá,Newton.

O hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros,como ele está circunscrito na circunferência tem-se que a altura de cada triângulo é igual ao raio da esfera.

[tex3]r=\frac{l\sqrt{3}}{2} \Rightarrow l=\frac{2r}{\sqrt{3}} \Rightarrow l=\frac{2r\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[tex3]A_h=6.\frac{l^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow A_h=6.\frac{\frac{4.r^2.3\sqrt{3}}{9}}{4} A_h=2\sqrt{3}r^2[/tex3]

Para o triângulo equilátero inscrito temos:

[tex3]L=r\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]A_t=\frac{L^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow A_t=\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Calculando a razão entre as áreas teremos:

[tex3]\frac{A_h}{A_t}=\frac{2\sqrt{3}r^2}{\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}} \Rightarrow \frac{A_h}{A_t}=\frac{4.2.r^2\sqrt{3}}{3r^2\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{A_h}{A_t}=\frac{8}{3}[/tex3]

[Newton]

Agradeço muito, Adriano!

Muito obrigado!