Ensino Superior ⇒ Integral dupla

[Natan]

Calcule:

[tex3]\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{1-(x-1)^2}} \frac{x+y}{x^2+y^2}dydx[/tex3]

[luispereira]

Como a curva descrita é uma circunferência dada pela equação:

[tex3]y^2+(x-1)^2=1[/tex3]

Logo, seja S o domínio de integração pela fórmula polar

[tex3]S:0\leq\rho\leq2cos\theta[/tex3] [tex3]e[/tex3] [tex3]0\leq\theta\leq2\pi[/tex3]

E,Lembrando que o Jacobiano da mudança de variável com fórmula polar é [tex3]\rho[/tex3], então a integral fica:

[tex3]\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2cos\theta}(cos\theta+sin\theta)d\rho{d\theta}[/tex3]

Computando-na você encontrará:

[tex3]\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2cos\theta}(cos\theta+sin\theta)d\rho{d\theta}=2\pi[/tex3]

[Natan]

poderia rever os cálculos ?, na minha solução achei [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] porém na resposta está [tex3]\frac{\pi}{2}+1[/tex3]

[luispereira]

opa!
foi mal ae, eu errei o limite de integração da circunferência

é de:

[tex3]0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}[/tex3]
passei batido na condição de [tex3]0\leq{y}\leq2[/tex3] e nao dei conta q para y=0,[tex3]2cos{\frac{\pi}{2}}=0[/tex3] e, para y=2, [tex3]2cos
0=2[/tex3]

ai se computa-la denovo vc ira encontrar [tex3]\frac{\pi}{2}+1[/tex3]

[Natan]

da uma ajuda ai cara, a minha integral na forma polar ficou assim:

[tex3]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2cos \theta} \frac{x+y}{x^2+y^2}dydx[/tex3]

[luispereira]

ela fica assim:

[tex3]x=pcos\theta[/tex3]
[tex3]y=psen\theta[/tex3]

[tex3]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2cos\theta}\frac{p^2[cos\theta+sen\theta]}{p^2}dpd\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2cos\theta}[cos\theta+sen\theta]dpd\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[1+cos2\theta+sen2\theta]d\theta=\frac{\pi}{2}+1[/tex3]

entendeu?