Ensino Superior ⇒ Extremos Locais Tópico resolvido

[Jonathas]

Encontrar todos os maximos e minimos locais e pontos de sela para a função:

[tex3]f(x,y)=9x^3+\frac{y^3}{3}-4xy[/tex3]

por favor, colocar detalhadamente a resolução do sistema linear das derivadas(é o que mais estou com dúvida)!


Desde ja obrigado!

[deOliveira]

[tex3]f(x,y)=9x^3+\frac{y^3}3-4xy[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=27x^2-4y\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=y^2-4x[/tex3]

Vamos encontrar os pontos críticos de [tex3]f[/tex3]
[tex3]\begin{cases}27x^2-4y=0\\-4x+y^2=0\implies x=\frac{y^2}4\end{cases}[/tex3]
Substituindo na primeira equação
[tex3]\frac{27}{16}y^4-4y=0\\y\left(\frac{27}{16}y^3-4\right)=0[/tex3]
[tex3]y=0[/tex3] ou [tex3]\frac{27}{16}y^3-4=0\\y^3=\frac{64}{27}\\y=\frac43[/tex3]
[tex3]y=0\implies x=0\\y=\frac43\implies x=\frac49[/tex3]

Então os pontos candidatos são [tex3](0,0)[/tex3] e [tex3]\left(\frac49,\frac43\right)[/tex3]

Vamos calcular as segundas derivadas para poder calcular o valor do Hessiano.
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=54x[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=2y[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=-4[/tex3]

[tex3]H(x,y)=\det\begin{pmatrix}54x & -4 \\ -4 & 2y \\ \end{pmatrix}=108xy-16[/tex3]

[tex3]H(0,0)=-16<0\implies (0,0)[/tex3] é ponto de sela.
[tex3]H\left(\frac49,\frac43\right)=108\cdot\frac43\cdot\frac43-16=12\cdot16-16>0[/tex3] e [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left(\frac49,\frac43\right)=54\cdot\frac49=24>0 \implies \left(\frac49,\frac43\right)[/tex3] é ponto de mínimo local.

Espero ter ajudado .