IME / ITA ⇒ (AMAN - 2005) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A razão entre a área lateral e a área total de um cilindro reto é [tex3]\frac{4}{5}[/tex3]. Se inscrevermos este cilindro em uma esfera, a razão entre os módulos da área da maior secção plana da esfera e do volume do cilindro é [tex3]\frac{5}{8}[/tex3]. A superfície dessa esfera, em unidades de área, é:

(A) [tex3]40\sqrt5 \pi[/tex3]
(B) [tex3]80\pi[/tex3]
(C) [tex3]56\pi[/tex3]
(D) [tex3]70\sqrt3 \pi[/tex3]
(E) [tex3]25\sqrt6 \pi[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

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De acordo com o enunciado temos:

[tex3]\frac{A_l}{A_t}=\frac{4}{5} \Rightarrow \frac{2\pi rh}{2\pi r(r+h)}=\frac{4}{5} \Rightarrow h=4r[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

A maior secção plana na esfera é uma circunferência.

[tex3]\frac{\pi R^2}{\pi r^2 h}=\frac{5}{8}[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3]

[tex3]\frac{R^2}{4r^3}=\frac{5}{8} \Rightarrow 2 R^2=5r^3 \Rightarrow 4 R^2=10r^3[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

[tex3]4R^2=4r^2+16r^2 \Rightarrow 4R^2=20r^2[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]

Igualando [tex3](iii)[/tex3] e [tex3](iv)[/tex3] teremos:

[tex3]10r^3=20r^2 \Rightarrow r=2[/tex3]

[tex3]4R^2=10.2^3 \Rightarrow 4R^2=80[/tex3]

[tex3]A_e=4\pi R^2 \Rightarrow A_e=80\pi[/tex3]

Alternativa:B