Pré-Vestibular ⇒ (ESCS - 2011) Trigonometria Tópico resolvido

[murilonves]

Um observador de 1,80 m de altura vê o ponto mais alto de uma torre segundo um ângulo de 25° em relação ao plano horizontal que passa pelos seus olhos. Caminhando 50 m em direção à torre, passa a vê-la sob ângulo de 50°, como está representado no esquema abaixo.

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Sabendo que o seno de 25° é igual a 0,42 e que o cosseno de 25 é igual a 0,91, a altura h da torre em relação ao solo é de, aproximadamente:

Resposta:

---

40 m

[fabit]

Provisoriamente, tiro os 1,80 metros do h, chamando o restante de t: [tex3]\begin{cases}t=h-1.8\\h=t+1.8\end{cases}[/tex3]

Partindo de t (cateto oposto ao ângulo de 50) vou para o adjacente ao 50 com [tex3]\frac{t}{\tan50}=\frac{t\times\cos50}{\sen50}[/tex3]

Somo os 50 metros para completar o cateto adjacente ao ângulo de 25: [tex3]\frac{t\times\cos50}{\sen50}+50[/tex3]

Finalmente, volto para t multiplicando tudo por tangente de 25: [tex3]t=\tan25\[\frac{t\times\cos50}{\sen50}+50\]=\frac{t\times\cos50\sen25}{\sen50\cos25}+\frac{50\times\sen25}{\cos25}[/tex3]

Ocorre que [tex3]\begin{cases}\sen50=2\sen25\cos25\\\cos50=\cos^225-\sen^225\end{cases}[/tex3]. Substituindo tudo do enunciado, a equação fica:
[tex3]t=\frac{t\times(0.91^2-0.42^2)\times\cancel{0.42}}{2\times\cancel{0.42}\times0.91^2}+\frac{50\times0.42}{0.91}[/tex3]

Multiplico por [tex3]2\times0.91^2[/tex3]:

[tex3]2\times0.91^2t=t(0.91^2-0.42^2)+100\times0.42\times0.91[/tex3]

[tex3]2\times0.8281t=t(0.8281-0.1764)+38.22[/tex3]

[tex3]1.6562t-0.6517t=38.22[/tex3]

[tex3]t=\frac{38.22}{1.0045}=\frac{382200}{10045}[/tex3] (chega! vou usar calculadora!)

[tex3]t\approx38.05[/tex3]

[tex3]h=t+1.8\approx38.05+1.8=39.85\approx40[/tex3]

[willianstinoco]

tenho uma um pouco mais simples
Altura = h+1,80m
[tex3]\tg 25°=\frac{0,42}{0,91}=0,46[/tex3]
[tex3]\tg 50°=\frac{2\tg 25}{1-\tg ^2 25}= \frac{2\cdot (0,46)}{1-(0,46)^2}= 1,17[/tex3]
[tex3]0,46=\frac{0,46}{50+x}[/tex3](a)
[tex3]1,17=\frac{h}{x}[/tex3](b)
[tex3]h=1,17x[/tex3]
substituindo b em a:
[tex3]0,46=\frac{1,17x}{50+x}\Rightarrow 0,46x+23=1,17x\Rightarrow 23=0,71x\Rightarrow x=\frac{23}{0,71}\Rightarrow x\simeq 33[/tex3]
[tex3]h=1,17\cdot (33)=38,61[/tex3]
[tex3]Altura = 38,61+1,80\simeq 40m[/tex3]

[murilonves]

Depois da prova também resolvi pela tangente, mas durante a prova nao tive tempo nem espaço de resolver esta questão dessa maneira

Gostaria de ver outra forma mais simples (menor quantidade de calculos) se existir?



vlw por ests respostas

[fabit]

Veja o seguinte:

O triângulo formado pelas duas linhas inclinadas (a 25 e 50 graus, respectivamente) e pela distância de 50 metros no nível dos olhos é ISÓSCELES, pois o externo 50 graus é a soma do de 25 que está marcado com o oposto ao lado de 50 metros, que por isso tem que medir 25 graus também.

Assim, a linha inclinada de 50 graus deve ser congruente ao lado de 50 metros. Logo mede 50 também.

Forma-se um triângulo retângulo que tem hipotenusa 50 metros e a parte da torre acima do nível dos olhos como cateto oposto ao ângulo de 50 graus.

Então [tex3]\sin50=\frac{h-1.8}{50}\Rightarrow h=1.8+50\times2\times0.42\times0.91=1.8+42\times0.91=1.8+38.22=40.05[/tex3]