IME / ITA ⇒ (AMAN - 2005) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A área da superfície da esfera inscrita no cone equilátero que tem como medida da geratriz o valor de [tex3]|f^{-1}(1)|[/tex3], sendo [tex3]f(x)=\frac{x+5}{2x-2}[/tex3], com [tex3]x \neq \frac{3}{2}[/tex3], é:

(A) [tex3]12\pi[/tex3].
(B) [tex3]16\pi[/tex3].
(C) [tex3]\frac{16}{3}\pi[/tex3].
(D) [tex3]\frac{32}{3}\pi[/tex3].
(E) [tex3]\frac{64}{3}\pi[/tex3].

[fabit]

Calculando a pré-imagem de 1:

[tex3]\frac{x.5}{2x-2}=1\Rightarrow x+5=2x-2\Rightarrow x=7[/tex3]

Módulo de 7 é 7 mesmo.

Agora esqueça a geometria espacial por um instante, pois o corte lateral da figura mata o problema: trata-se de um triângulo equilátero de lado 7 com um círculo inscrito nele (o raio será 1/3 da altura).

[tex3]r=\frac{1}{3}\times\frac{7\sqrt{3}}{2}=\frac{7}{2\sqrt{3}}[/tex3] (deixei essa raiz embaixo porque ainda vou elevar tudo ao quadrado).

Voltando ao 3D, a superfície é dada por [tex3]S=4\pi r^2=4\pi\(\frac{7}{2\sqrt{3}}\)^2=\frac{4\pi\times49}{4\times3}=\frac{49\pi}{3}[/tex3].

Não encontrei isso nas alternativas. Alguém se enganou, talvez eu mesmo.

Pela restrição [tex3]x\neq\frac{3}{2}[/tex3], fico suspeitando que o denominador seja 2x-3 e não 2x-2.

Onde era x+5=2x-2 passará a ser [tex3]x+5=2x-3\Rightarrow x=8[/tex3] e carregando as consequências, onde dava 49 na resposta passará a dar 64.

Letra E?

[ALDRINMOD]

Valeu fabit,

realmente o denominador é [tex3]2x-3[/tex3], erro meu.

Selva!

[fabit]

Brasil!

Ou então...

CAVEIRA!