IME / ITA ⇒ (Escola Naval CPAPCM - 2007) Equação Diferencial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considerando [tex3]x[/tex3] uma variável real positiva, pode-se afirmar que a solução geral da equação diferencial [tex3]x\frac{dy}{dx}+y=xy^2ln x[/tex3] é

(A) [tex3]y=\frac{1}{cx+xln^2 x}[/tex3].
(B) [tex3]y=\frac{2}{2cx-xln^2 x}[/tex3].
(C) [tex3]y=\frac{1}{cx-xln^2 x}[/tex3].
(D) [tex3]y=\frac{cln x+x}{x^2-1}[/tex3].
(E) [tex3]y=\frac{2}{2cx+xln^2 x}[/tex3].

[Nesaxtoie]

Olá Aldrin. Você me pediu para resolver essa questão há um tempo. Como estava apertado, não pude responder, só havia te contado qual das respostas era a correta, a saber o item b. Vejamos:

[tex3]x\frac{dy}{dx}+y=xy^2ln x \Rightarrow y'+\frac{1}{x}y=y^2ln x[/tex3] (1)

Usaremos a seguinte substituição: [tex3]w=\frac{1}{y}[/tex3] (2)
Assim
[tex3]y=\frac{1}{w}[/tex3] e [tex3]y'=-\frac{1}{w^2} w'[/tex3]

Reescrevendo a equação (1), obtemos uma nova equação com uma "cara" mais simples, em função de w:

[tex3]w'-\frac{1}{x}w=-lnx[/tex3]

Multiplicando agora ambos os lados pos [tex3]\frac{1}{x}[/tex3]:

[tex3]\frac{1}{x}w'-\frac{1}{x^2}w=-\frac{lnx}{x}[/tex3]

Notamos que o lado esquerdo dessa igualdade corrsponde à derivada de [tex3]\frac{1}{x}w[/tex3]. Logo

[tex3](\frac{1}{x}w)'=-\frac{lnx}{x} \Rightarrow \frac{1}{x}w=-\int \frac{lnx}{x} dx=-\frac{1}{2}ln^2x+c[/tex3]

Portanto

[tex3]w=cx-\frac{x}{2}ln^2x[/tex3]

e de (2)

[tex3]y=\frac{1}{cx-\frac{x}{2}ln^2x}=\frac{2}{2cx-xln^2x}[/tex3]

Resposta:

(B) [tex3]y=\frac{2}{2cx-xln^2 x}[/tex3].

Qualquer dúvida pode falar. Abraço.

[ALDRINMOD]

Valeu, Guerreiro de Selva.

Já tinha até esquecido, hehe.

Abraço.