Pré-Vestibular ⇒ (PAS/UnB) Números Complexos e Geometria Analítica

[ALDRINMOD]

Considerando [tex3]z=x+iy[/tex3] um ponto do plano complexo que satisfaz a equação [tex3]|z-1|^2+|z+1|^2=2r^2,[/tex3] julgue os seguintes itens.

I. Se [tex3]0 \leq r < 1,[/tex3] então existem exatamente [tex3]4[/tex3] valores de [tex3]z[/tex3] que satisfazem a equação dada.
II. Se [tex3]r=1,[/tex3] então [tex3]z=0[/tex3] é o único ponto que satisfaz a equação apresentada.
III. Se [tex3]r>1,[/tex3] então o conjunto solução da equação dada corresponde a uma circunferência de raio [tex3]r[/tex3] e centro na origem do plano de coordenadas [tex3]xOy.[/tex3]

[poti]

Peguei vários exercícios do forum pra reforçar minha geometria analítica e esse é um deles. Já que ninguém respondeu vou postar minha resolução.

[tex3]z = x+yi[/tex3]

[tex3](\sqrt{(x-1)^2 + y^2})^2 + (\sqrt{(x+1)^2 + y^2})^2 = 2r^2[/tex3]

[tex3]x^2 -2x + 1 + y^2 + x^2 +2x + 1 + y^2 = 2r^2[/tex3]

[tex3]2x^2 + 2y^2 + 2 = 2r^2[/tex3] (simplificando por 2 e tirando a raiz dos dois lados)

[tex3]\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{r^2 - 1}[/tex3]

[tex3]|z| = \sqrt{r^2 - 1}[/tex3]

I. Falsa: Se [tex3]r = 0[/tex3], o módulo é um número imaginário, o que é impossível.
II. Verdadeira: Sendo o módulo igual a raiz de [tex3]0[/tex3], que é [tex3]0[/tex3], o único complexo que satisfaz é [tex3]z = 0 + 0i = 0[/tex3].
III. Falsa: O círculo será centrado na origem, mas o raio será representado por [tex3]\sqrt{r^2 - 1}[/tex3].