Pré-Vestibular ⇒ (Unemat-2011) Matemática Básica Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

O proprietário de um cinema percebeu que com o ingresso de R$ 10,00, em média 200 pessoas assistiam aos filmes, e que para cada redução de 2,00 reais no preço dos ingressos,o público aumentava de 100 pessoas. Para que a receita seja máxima,o preço do
ingresso deve ser:
a) 10,00 reais
b) 8,00 reais
c) 6,00 reais
d) 4,00 reais
e) 2,00 reais

Resposta

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c

[fabit]

Receita R=np, onde há n pessoas pagando p reais.

Como a relação entre n e p é por meio de função afim (cada 2 reais de variação no preço dá variação de 100 no público), o produto np dará uma quadrática. Portanto, pela simetria da mesma, o ponto máximo fica no "meio do caminho" entre os valores que a anulam.

Ora, a receita R=np se anula quando n=0 e quando p=0. O segundo já tá calculado, mas o primeiro ocorre quando subimos o preço de modo que nem aquelas 200 pessoas que pagam 10 reais queiram ir. Pela regra dada, aumentando 4 reais no preço, o público acaba, logo n=0 acontece para p=14.

Com isso, a simetria da parábola garante que R será máximo para p=7.

Isso fica ENTRE as alternativas "b" e "c".

Veja que para p=6 (do gabarito), o público será 400 e a receita dará 2400, que é o mesmo que ocorre com p=8 (da letra b), que gera um público de 300 e a mesma receita. Isso confirma a simetria da parábola com "x do vértice" valendo 7, que é média entre 6 e 8.

Usando p=7, o público fica em 350 e a receita 2450.

[danimedrado]

Alguém poderia me explicar melhor essa questão? Não consegui entender a resolução.

[fabit]

danimedrado, vou resolver de novo, bem nos moldes de cursinho pré-vestibular (ou seja, sem nem tentar fazer o estudante pensar de modo criativo, só na base das formuletas). Minha recomendação é que você compare as duas formas de resolver, tentando aprofundar seus conhecimentos nesse confronto.

Seja y o público (em unidades) e x o preço do ingresso (em reais). O enunciado especifica que y=200 quando x=10 e que o público varia +100 quando o ingresso varia -R$2,00, isto é, [tex3]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{100}{-2}=-50[/tex3]. Então vale uma relação afim (y=ax+b) entre o público e o preço.

Usando o ponto (x,y)=(10,200) você pode descobrir os valores de a e b e escrever [tex3]y=-50x+700[/tex3].

Mas e a receita? Como é que calcula isso? Concorda que é multiplicar o número de pessoas (que é y) pelo valor do ingresso (que é x)?

Pois então, uma nova função surge, chamada r(x), a receita, em reais, como função de x. Na verdade, r=xy, mas como y é função de x, substitui e elimina o y dessa expressão, restando apenas uma variável: [tex3]r(x)=x(-50x+700)[/tex3].

A partir daí você tem dois caminhos pra examinar essa função quadrática da receita. Deixa fatorado (quem sabe fatorando mais ainda, pois dá pra botar 50 em evidência) ou faz o contrário, distribuindo o x. Na minha solução anterior eu meio que segui o primeiro caminho e argumentei que o x do vértice da quadrática fica no ponto médio das raízes. Dessa vez vou fazer diferente...

[tex3]r(x)=-50x^2+700x; x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-700}{2\cdot(-50)}=7[/tex3].

Talvez você não tenha entendido antes porque as opções não têm o R$7,00 como resposta. Mas o ingresso que traz a maior receita é 7,00 mesmo, não R$6,00 como na opção "c" nem R$8,00 da alternativa "b".

Isso quer dizer que a questão está errada? Sim, por um detalhe: os valores dessas opções b e c estão igualmente distantes de x=7 e por tal motivo a simetria da parábola garante que a receita dessas alternativas vai empatar (com um valor menor do que o que é arrecadado com x=7). E aí o gabarito fica "duplo" (duas respostas certas).

Releia minha solução anterior pra pegar mais detalhes desse "empate". Se as alternativas fossem, digamos, 3; 5; 8; 10 e 11, aí pelo menos você marcaria o x=8 porque é o mais próximo de x=7. Não geraria a receita máxima mas pelo menos seria a maior dentre as receitas das opções fornecidas (sem empate).

Espero ter deixado mais claro agora.

Abs