Pré-Vestibular ⇒ (UFAL - 2007) Função Exponencial e Logaritmos

[Fabio Friedrich]

As informações que seguem referem-se às questões abaixo.

Como resultado de uma campanha de desarmamento feita desde o início deste ano em certo Estado, o número de acidentes com armas de fogo vem decaindo, mês a mês, podendo ser estimado por [tex3]y = k \cdot (0,9)^t ,[/tex3] em que [tex3]k[/tex3] é uma constante real e [tex3]t[/tex3] representa o tempo em meses, a partir de janeiro [tex3](t = 0).[/tex3] Sabe-se que em março de [tex3]2006[/tex3] houve [tex3]10.000[/tex3] acidentes desse tipo.

1. O número de acidentes em julho de [tex3]2006[/tex3] deve ter sido, aproximadamente,

a) [tex3]7.810[/tex3]
b) [tex3]7.290[/tex3]
c) [tex3]6.843[/tex3]
d) [tex3]6.561[/tex3]
e) [tex3]6.146[/tex3]

2. Mantido esse comportamento, o esperado é que, no ano de [tex3]2007,[/tex3] a marca de [tex3]3.600[/tex3] acidentes seja alcançada no mês de

a) junho.
b) maio.
c) abril.
d) março.
e) fevereiro.

Dados:

• [tex3]\log_2 = 0,30[/tex3]
  [tex3]\log_3 = 0,48[/tex3]

[italoemanuell]

Olá Fabio.

1. Inicialmente, observe que o mês de março está associado ao instante [tex3]t=2.[/tex3] Temos que:

• [tex3]10000=k\cdot (0,9)^2 \Rightarrow k=\frac{10000}{(0,9)^2} .[/tex3]

Logo, como o mês de julho é associado ao instante [tex3]t=6,[/tex3] vem:

• [tex3]y=\frac{10000}{(0,9)^2}\cdot (0,9)^6=6561[/tex3]

Resposta: (d)

2.

• [tex3]\frac{10000}{(0,9)^2}\cdot (0,9)^t=3600[/tex3]

Alguém sabe resolver essa equação?

[edu_landim]

Continuando de onde Emanuel parou temos:

• [tex3]\frac{10000}{(0,9)^2}\cdot (0,9)^t\,=\,3600[/tex3]
  
  [tex3]10000\,\cdot\,(0,9)^{t\,-\,2}\,=\,3600[/tex3]
  
  [tex3](0,9)^{(t\,-\,2)}\,=\,0,36[/tex3]
  
  [tex3]t\,-\,2\,=\,\log_{0,9}0,36[/tex3]

Aplicando mudança de base no logaritmo temos

• [tex3]t\,-\,2\,=\,\frac{\log 0,36}{\log 0,9}[/tex3]
  
  [tex3]t\,-\,2\,=\,\frac{\log 36\,-\,\log100}{\log 9\,-\,\log10}[/tex3]
  
  [tex3]t\,-\,2\,=\,\frac{\log (2^2\cdot3^2)\,-\,\log100}{\log 9\,-\,\log10}[/tex3]
  
  [tex3]t\,-\,2\,=\,\frac{\log 2^2\,+\,\log3^2\,-\,\log100}{\log 3^2\,-\,\log10}[/tex3]
  
  [tex3]t\,-\,2\,=\,\frac{2\log 2\,+\,2\log3\,-\,\log100}{2\log 3\,-\,\log10}[/tex3]
  
  [tex3]t\,=\,\frac{0,60\,+\,0,96\,-\,2}{0,96\,-\,1}\,+\,2[/tex3]
  
  [tex3]t\,=\,\frac{-\,0,44}{-\,0,04}\,+\,2[/tex3]
  
  [tex3]t\,=\,1,1\,+\,2[/tex3]
  
  [tex3]t\,=\,3,1[/tex3]

Significa que será preciso mais de três meses para atingir esta marca, ocorrendo ao longo do mês de abril.