Pré-Vestibular ⇒ (CESCEA - 1971) Geometria Analítica

[LucasMs92]

A tangente de um dos ângulos formados pelas retas não perpendiculares:
[tex3]a_1x+b_1y+c_1=0[/tex3] e [tex3]a_2x+b_2y+c_2=0[/tex3] é:

[tex3]a)[/tex3] [tex3]\frac{a_1b_2{-}a_2b_1}{a_1a_2+b_1b_2}[/tex3]

[tex3]b)[/tex3] [tex3]\frac{a_1a_2{-}b_1b_2}{a_1a_2+b_1b_2}[/tex3]

[tex3]c)[/tex3] [tex3]\frac{a_1{-}a_2}{1+a_1a_2}[/tex3]

[tex3]d)[/tex3] [tex3]\frac{a_1b_2+a_2b_1}{a_1a_2{-}b_1b_2}[/tex3]

[tex3]e)[/tex3] [tex3]n.d.a.[/tex3]


Resposta:

Resposta

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a)

Gostaria de um desenvolvimento matemático rigoroso.

Obrigado

[andrecaldas]

Eu não sei qual é a solução que se espera de um vestibulando. Eu, pessoalmente, gosto de resolver esse tipo de problema com vetores. Não tá muito rigoroso, não... e esse jeito é muito mais complicado que substituir valores e fazer contas. Eu gosto porque a técnica mostra melhor a geometria do problema.

1. Mostre que a reta dada por [tex3]a x + b y = -c[/tex3] tem direção [tex3](-b, a)[/tex3].
1.1 A reta é o conjunto dos pontos [tex3](x,y)[/tex3] tais que [tex3](a,b) \cdot (x,y) = -c[/tex3].
1.2 Por 1.1, se [tex3](a_0, b_0)[/tex3] é um ponto da reta, então a reta é dada por [tex3]r(t) = (a_0, b_0) + t \vec{d}[/tex3], onde [tex3]\vec{d}[/tex3] é um vetor perpendicular a [tex3](a,b)[/tex3] qualquer.
1.3 Mostre que [tex3](-b,a)[/tex3] é um vetor perpendicular a [tex3](a,b)[/tex3].

2. Por 1, o que o problema pede é a tangente dos ângulos entre [tex3]v_1 = (-b_1, a_1)[/tex3] e [tex3]v_2 = (-b_2, a_2)[/tex3].

3. Mostre que o cosseno é dado por [tex3]\frac{v_1 \cdot v_2}{\sqrt{| v_1 |^2 | v_2 |^2}}[/tex3].

4. Mostre que o seno é dado por [tex3]\frac{\pm w \cdot v_2}{\sqrt{| w |^2 | v_2 |^2}}[/tex3], onde [tex3]w = {\rm rot} v_1[/tex3] é uma rotação de noventa graus de [tex3]v_1[/tex3] qualquer.
4.1 Mostre que [tex3]w = (a_1, b_1)[/tex3] é uma dessas rotações. (dica: calcule o produto interno entre os dois vetores)

5. Mostre que [tex3]| w | = | v_1 |[/tex3].

6. Divida o seno pelo cosseno para obter a tangente.
[tex3]{\rm tg} = \frac{\pm (a_1, b_1) \cdot (-b_2, a_2)}{(-b_1, a_1) \cdot (-b_2, a_2)} = \frac{\pm ( a_1 b_2 - a_2 b_1)}{b_1 b_2 + a_1 a_2}[/tex3].

OBS: Não sugiro usar esse método no vestibular. Eu mesmo me atrapalhei um bocado, aqui...

[andrecaldas]

Acho que é mais fácil usando a fórmula para seno e cosseno de diferenças entre ângulos.

Note que [tex3]{\rm cos} (a,b) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/tex3], e [tex3]{\rm sen} (a,b) = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/tex3].
Agora é só calcular os valores para [tex3]v_1[/tex3] e [tex3]v_2[/tex3] e usá-los pra determinar o seno e o cosseno da diferença. Só tem que ficar ligado com o [tex3]\pm[/tex3] do seno.

Note que na resposta, a parte de cima se parece muito com o seno da soma de dois ângulos e a parte de baixo com o cosseno.

[LucasMs92]

sem dúvida a solução exige o uso de vetores, algo que foge do ensino médio, mas nada que um bom livro de álgebra Linear não resolva. Obrigado!

[LucasMs92]

Existe uma "aproximação" do resultado esperado. Lembremos da fórmula da tangente do ângulo agudo formado por duas retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3]:

[tex3]tg \theta = |\frac{m_r{-}m_s}{1+m_rm_s}|[/tex3]

[tex3]m_r={-}\frac{a_1}{b_1}[/tex3]
[tex3]m_s={-}\frac{a_2}{b_2}[/tex3]

substituindo:

[tex3]tg \theta = |\frac{{-}\frac{a_1}{b_1}{-}({-}\frac{a_2}{b_2})}{1+({-}\frac{a_1}{b_1})({-}\frac{a_2}{b_2})}|[/tex3] [tex3]=[/tex3] [tex3]|\frac{{-}\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}}{1+\frac{a_1a_2}{b_1b_2}}|[/tex3] [tex3]=[/tex3] [tex3]|\frac{{-}\frac{a_1b_2}{b_1b_2}+\frac{a_2b_1}{b_1b_2}}{\frac{b_1b_2}{b_1b_2}+\frac{a_1a_2}{b_1b_2}}|[/tex3] [tex3]=[/tex3] [tex3]|\frac{{-}a_1b_2+a_2b_1}{b_1b_2+a_1a_2}|[/tex3]*[tex3]|\frac{b_1b_2}{b_1b_2}|[/tex3] [tex3]=[/tex3] [tex3]|\frac{{-}a_1b_2+a_2b_1}{b_1b_2+a_1a_2}|[/tex3], se [tex3]b_1b_2 \neq 0[/tex3]

Como sabemos, a fórmula acima foi construída para [tex3]b_1b_2\neq 0[/tex3], mas se testarmos os casos particulares:

[tex3]1ºcaso:[/tex3] [tex3]b_1=0[/tex3]
[tex3]2ºcaso:[/tex3] [tex3]b_2=0[/tex3]

veremos que a fórmula obtida é também válida para ambos os casos particulares, [tex3]nao[/tex3] definidos originalmente na equação.

Não é coincidência, porém deve existir uma outra (e desconhecida) forma de se obter essa equação, ignorando o produto [tex3]\frac{b_1b_2}{b_1b_2}[/tex3]

[fabit]

Antes de apresentar minha solução, quero comentar que vetores não são assunto que fuja do Ensino Médio não. Muito pelo contrário, tem que ser dado pelo menos no [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3] até produto escalar logo no 1º bim do 1º ano do EM. Vai precisar em Física e não pode ser dispensado para a própria Geometria Analítica do 3º ano (é incrivelmente mais fácil ensinar GA pra quem já conhece vetores).

Agora sim, chega de lero-lero:
o ângulo formado entre duas retas é o mesmo que o ângulo formado entre as normais a elas. Isso me dispensa de ter que "tocar x e y de lugar e mudar o sinal da primeira coordenada" (que é como se obtém o tal (-b,a) da primeira resposta ao post).

Os vetores normais às retas dadas são [tex3](a_1,b_1)[/tex3] e [tex3](a_2,b_2)[/tex3].

Por produto escalar, o cosseno é dado por [tex3]\cos\theta=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}}[/tex3].

Agora, pra pegar a tangente, imagine um triângulo retângulo em que o THETA seja um dos ângulos agudos, o numerador da fração acima seja o cateto adjacente ao THETA e o denominador seja a hipotenusa. Por Pitágoras vou calcular o cateto oposto e depois calcular a tangente pela razão "cat.op/cat.adj". Tudo com sinal positivo colocando sinal de módulo. Se não errar conta, deve dar uma das alternativas. Na hora de tirar o módulo, não esquecer que tangente do suplemento é o oposto da tangente.

Pitágoras: [tex3](a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)=x^2+(a_1a_2+b_1b_2)^2[/tex3]

[tex3]\cancel{a_1^2a_2^2}+a_1^2b_2^2+b_1^2a_2^2+\cancel{b_1^2b_2^2}=x^2+\cancel{a_1^2a_2^2}+2a_1a_2b_1b_2+\cancel{b_1^2b_2^2}[/tex3]

[tex3]x^2=a_1^2b_2^2+b_1^2a_2^2-2a_1a_2b_1b_2[/tex3]

Tangente: [tex3]\tan\theta=\frac{\sqrt{a_1^2b_2^2+b_1^2a_2^2-2a_1a_2b_1b_2}}{\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}}=\frac{|a_1b_2-b_1a_2|}{\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}}[/tex3]

Isso não dá alternativa "a" nem nenhuma das 4 primeiras. Aliás, a "c" é ridícula! Como é que pode os b1 e b2 não influenciarem a resposta?

Eu fiquei com letra E, mas posso ter errado conta e o meu denominador tinha que ter simplificado e não simplificou.

[LucasMs92]

Vale ressaltar que não foi menosprezada aqui a importância dos vetores, muito pelo contrário: É uma forte ferramenta aliada a GA e à física (Mecância, Eletromagnetismo, etc), tanto quantos outros ramos da matemática. Porém o que foi destacado é a deficiência dos cursos do Ensino Médio em transmitir seus conceitos: Algumas escolas não ensinam vetores como deveria apresentar (suas propriedades fundamentais), tanto que muitos alunos saem do ensino médio sem saber o que significa "Módulo, Direção e Sentido" (na época eu fui um deles).


Com relação à questão, essas alternativas são fiéis à ela, idem ao gabarito.

Agradeço todas as respostas dadas

[fabit]

Agora fiz de outro jeito, e dessa vez cheguei à letra A, bem rapidinho...

Primeira reta: [tex3]y=-\frac{a_1}{b_1}x-\frac{c_1}{b_1}[/tex3] (coeficiente angular a1/b1, que vou chamar de p/q pra agilizar)

Segunda reta: [tex3]y=-\frac{a_2}{b_2}x-\frac{c_2}{b_2}[/tex3] (coeficiente angular a2/b2, que vou chamar de r/s pra agilizar)

Sendo o coeficiente angular a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo dos x, a tangente do ângulo entre as retas será dada pela tangente do arco-diferença:

[tex3]\tan\theta=\frac{\frac{p}{q}-\frac{r}{s}}{1+\frac{p}{q}\times\frac{r}{s}}[/tex3]

Multiplico por qs:

[tex3]\tan\theta=\frac{ps-rq}{qs+pr}=\frac{a_1b_2-a_2b_1}{b_1b_2+a_1a_2}[/tex3] Letra A