Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais

[matbatrobin]

Resolva o seguinte P.V.I. (Problema de Valor Inicial) :

[tex3]t^2 \cdot y''+ t\cdot y' + y=0[/tex3], [tex3]y(1)=0[/tex3], [tex3]y'(1)=0[/tex3]

[Natan]

Acho que essa só se chega na solução se for por série, ela é do cálculo 4 né?

se prepara que se for vai da trabalho...

[luispereira]

Estas EDO´s de coeficientes variaveis são muito enroladas de fazer. De madrugada tentarei faze-lâ, mas te darei o bizu inicial.
Percebe-se que esta EDO nao possui um ponto inicial para sua resoluçao, assim, a raiz pode ser de modo que

[tex3]y=\sum^\infty_{n=0}a_n(t-t_0)^n[/tex3]. Assim, escolhendo arbitrariamente [tex3]t_0=0[/tex3] dado que não há controvérsias com este número, então:
[tex3]y=\sum^\infty_{n=0}a_n{t}^n[/tex3]

Agora vem o regaço, porque você tera q deixar a soma com o mesmo valor n e com x de mesmo expoente, para que assim chegar a uma equaçao de recorrência(nao sei se tu aprendeu isto).Existem algumas que voçe tem q provar a convergencia, mais nada como o teste M de Weierstrass para resolver isto.
Depois de resolver a recorrência, pode surgir alguns problemas, mas ai vai de exercicio para exercicio de acordo com o PVIF.
Espero ter ajudado e tentarei resolvê-lo

[matbatrobin]

achei um jeito de fazer.....

[tex3]y(x)=x^r, \, y'(x)=rx^{r-1}, \,y''(x)=r(r-1)x^{r-2}[/tex3]

Substituindo fica:

[tex3](r^2-r)x^r+rx^r+x^r=0 \\ x^r(r^2+1)=0 \,\Rightarrow \,\,r=\pm i[/tex3]

[tex3]y_1(x)=x^i,\,\,\,y_2(x)=x^{-i}[/tex3]

[tex3]x=e^{lnx}[/tex3]

Então temos:

[tex3]y_1(x)=e^{ilnx}=cos(lnx)+isen(lnx),\,\,\,y_2(x)=e^{-ilnx}=cos(lnx)-isen(lnx)[/tex3], mas como podemos multiplicar por qualquer constante que tambem será solução fica:

[tex3]y=c_1cos(lnx)+c_2sen(lnx)[/tex3]

Aí resolve o PVI normalmente

[tex3]u(x)=y_1+y_2=2cos(lnx),\,\,\,v(x)=y_1-y_2=2isen(lnx)[/tex3]