IME / ITA ⇒ (AMAN - 2005) Geometria Espacial

[ALDRINMOD]

Em um cubo de aresta [tex3]"a"[/tex3] inscreve-se uma esfera; nesta esfera se inscreve um novo cubo; e neste, uma esfera. Repetindo a operação indefinidamente, a soma dos volumes de todos os cubos é:

(A) [tex3]\frac{3a^3(9+\sqrt3)}{26}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{a^3(9+\sqrt3)}{26}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{a^3(9-\sqrt3)}{26}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{3a^3(9-\sqrt3)}{26}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{a^3(9+\sqrt3)}{78}[/tex3]

[leotrin]

eu fiz aqui, mas usando uma secção central e no sentido horizontal (ou vertical) do cubo de aresta a
mas pelas alternativas, parece que foi usada a diagonal do cubo e não a diagonal da secção que eu fiz
a resposta é a alternativa A) ?
[tex3]\frac{3a^3 (9+\sqrt{3})}{26}[/tex3]

se for isso mesmo, eu posto minha resolução

[joaoturchette]

Se formos fazendo os desenhos, usaremos algumas relações entre as arestas e diagonais dos cubos e os raios da cincunferências(não consigo fazer os desenhos no computador, se alguém puder ilustrar, agradeço)
O volume do cubo1 é a^3, o cubo2 é a^3/3*3^1/2, o cubo3 será a^3/27 e assim por diante, o que nos leva a uma PG infinita, cuja soma dos termos nos dará a soma dos volumes de todos os cubos. A fórmula é a seguinte Si= a1/1-q (a razão será 1/3*3^1/2)
isso dará o resultado final, que é a letra A

[ALDRINMOD]

Não tenho o gabarito, mas leotrin post sua resolução, por favor.

Abraço.

Selva!