Ensino Superior ⇒ Continuidade; Desigualdade - (Calculus - Apostol) Tópico resolvido

[DouglasM]

Olá a todos, estou tendo problemas com a questão abaixo. Tentei analisar geometricamente, mas não obtive êxito.

Seja "f" uma função tal que

[tex3]| f(u) - f(v) |\; \leq \; |u-v|[/tex3]

para todos os valores de "u" e "v" em um intervalo [a,b].

-> Assuma que "f" é integrável em [a,b]. Prove que:

[tex3]| \int^b_a f(x)dx - (b-a).f(a) | \;\leq\; \frac{(b-a)^2}{2}[/tex3]


Agradeço desde já aos que puderem colaborar.

[andrecaldas]

-> Assuma que "f" é integrável em [a,b]. Prove que:

[tex3]| \int^b_a f(x)dx - (b-a).f(a) | \;\leq\; \frac{(b-a)^2}{2}[/tex3]

Dica:
Substitua [tex3](b-a) f(a) = \int_a^b f(a) dx[/tex3] em [tex3]\left| \int^b_a f(x)dx - (b-a).f(a) \right|[/tex3], "passe o módulo pra dentro da integral" e use [tex3]|f(x) - f(a)| \leq x - a[/tex3] quando [tex3]x \in [a,b][/tex3].

[DouglasM]

Obrigado pela dica andrecaldas. Realmente ajudou bastante, inclusive para o próximo exercício.

[miguel747]

excelente dica André...fiz aqui inclusive um exercício parecido no stewart.

vlw!